روش‌های رسم یک پنج‌ضلعی منتظم

یکی از روش‌های رسم یک پنج‌ضلعی منتظم در این پویانمایی توضیح داده شده‌است.

روش ریچموند

رسم پنج ضلعی منتظم با پرگار و خط کش به صورت پویانمایی زیر است.

روش کارلایل

عدد پی

عدد پی

عدد پی (۳٫۱۴۱۵ = π) از اعداد گنگ است. عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند ظاهر می‌شود. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (۳٫۱۲۵) و مصریان (۳٫۱۶۰۴) در ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین در متون هندی این عدد ۳٫۱۳۹ تقریب زده شده که حدوداً تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد، ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود. او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی‌های منتظم و به کمک ۹۶ ضلعی منتظم عدد پی را ۳٫۱۴۱۹ تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است. همچنین دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن ۵ میلادی عدد پی را ۳٫۱۴۱۵۹۲۹۲ محاسبه کرد که تا ۶ رقم اعشار صحیح است. غیاث الدین جمشید کاشانی دانشمند و ریاضی دان ایرانی نیز عدد پی را تا 17 رقم اعشار بدست آورد که تنها در رقم هفدهم با محاسبات امروزی تفاوت داشت. تا هزاره دوم میلادی کمتر از ده رقم اعشار عدد پی به‌طور صحیح محاسبه شده بود (به کمک عدد پی تا ۱۱ رقم اعشار می‌توان محیط کره زمین را با دقت میلی‌متر تخمین زد). رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سری‌های نامتناهی تخمین‌های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد، بطوریکه امروزه با استفاده از رایانه‌های شخصی می‌توان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد. اگر می‌خواهید عدد p را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپارید تعداد حروف کلماتِ این شعر به شما کمک خواهد کرد:

 خرد و بینش و آگاهی دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد= ۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵

چندضلعی منتظم

در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند. 

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. 

در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

قواعد بخش­پذیری بر اعداد طبیعی

قواعد بخش­پذیری بر اعداد طبیعی

 * اعداد طبیعی  {... ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1}

 * دو عدد که با هم مقسوم ­علیه مشترکی غیر از 1 نداشته باشند؛ نسبت به هم متباین یا اوّلند. مثل 4 و 7    یا   12 و 19

در تقسیمی که مقسوم و مقسوم علیه و خارج ­قسمت آن اعداد طبیعی بوده و باقی­مانده­ی آن صفر باشد؛ می­گوییم :

ـ مقسوم بر مقسوم­ علیه بخش­پذیر یا قابل قسمت است.

 ـ مقسوم توسط مقسوم ­علیه شمارش می­شود.

ـ مقسوم علیه، مقسوم را می­شمارد.          

مثال:         8 بر 4 بخش­پذیر است.           4 هشت را می­شمارد.       4 مقسوم­علیه 8 می­باشد.       2 = 4 ÷ 8

 برای فهم بخش­پذیری بر بعضی از اعداد طبیعی قاعده­هایی وجود دارد. حتّی می­توان از طریق این قاعده­ ها بدون انجام عمل تقسیم به باقی­مانده ­ی تقسیم پی برد. در مورد بعضی از اعداد طبیعی، انجام عمل تقسیم راحت­تر از به ­کار گیری قاعده­ ی آن است.

قاعده­ ی بخش­پذیری بر 1 :      تمامی اعداد بر 1 بخش­پذیرند.

 قاعده ­ی بخش­پذیری بر 2 : تمامی اعداد زوج بر 2 بخش­پذیرند.  

اعداد فرد بر 2 بخش­پذیر نیستند و باقی­مانده­ی تقسیم آن­ها بر 2 حتماً 1 خواهد بود.

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 3 :

عددی بر ۳ بخش پذیر است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذیر باشد. باقی مانده­ ی تقسیم عدد بر 3 همان باقی­مانده ­ی تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر ۳ است.مثال- مجموع رقم­های عدد 3726 برابر 18 است و 18 بر ۳ بخش پذیر می­باشد، بنابراین عدد3726 بر ۳ بخش­پذیر است.

مثال- مجموع رقم­های عدد 2408 برابر 14 است و 14 بر ۳ بخش پذیر نمی­باشد و 2 تا باقی­مانده می­آورد؛ بنابراین عدد2408 بر ۳ بخش­پذیر نیست و تقسیم 2408 بر 3 دو تا باقی­مانده دارد.

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 4 :    هیچ عدد فردی بر 4 بخش­پذیر نیست. در بین اعداد زوج:

الف) اعدادی بر 4 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها بر 4 بخش­پذیر باشند.   مثل: 3516

ب) اعدادی بر 4 بخش­پذیرند که اگر دو رقم سمت راست آن­ها را بر 2 تقسیم کنیم؛ خارج­ قسمت زوج باشد.

مثال: 19857846      23 = 2 ÷ 46  چون 23 فرد است پس 19857846 بر 4 بخش­پذیر نیست.

مثال: 19857848      24 = 2 ÷ 48  چون 24 زوج است پس 19857848 بر 4 بخش­پذیر است.

ج) اعدادی بر 4 بخش­پذیرند که حاصل جمع رقم یکان و دو برابر رقم دهگانِ آن بر 4 بخش­پذیر باشد.

مثال: در عدد 23845256      16 = 5 × 2 + 6   چون 16 بر 4 بخش­پذیر است؛ پس 23845256 بر 4 قابل­قسمت است.

مثال: در عدد 23845258      18 = 5 × 2 + 8  چون 18 بر 4 بخش­پذیرنیست؛ پس 23845258 بر 4 قابل­قسمت نیست.

د) اعدادی بر 4 بخش­پذیرند که اگر رقم یکان آن­ها 0، 4 یا 8 بود؛ دهگان آن زوج و اگر رقم یکان آن 2 یا 6 بود؛ رقم دهگان آن فرد باشد. مثل 2340 ،  4324 ، 1128568 ،  3356452  ، 99254836

برای تعیین باقی­مانده­ ی تقسیم یک عدد بر 4 به دو رقم سمت راستِ آن توجّه می­شود.

مثال: در عدد 235678 ، عدد 78 بر 4 ، 2 تا باقی­مانده دارد؛ چون رقم دهگان آن فرد است و رقم 8 ، 2 تا از 6 بیش­تر است.

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 5 :   

اعدادی بر 5 بخش­پذیرند که رقم یکان آن­ها صفر یا 5 باشد. مثل: 370  ،   28965

برای تعیین باقی­مانده­ی تقسیم یک عدد بر 5 به رقم سمت راستِ آن توجّه می­شود.

مثال: در عدد 23783 چون 3 بر 5 ، 3 تا باقی­مانده می­آورد ؛ پس 23783 بر 5 نیز 3 تا باقی­مانده دارد.

       در عدد 23789 چون 9 بر 5 ، 4 تا باقی­مانده می­آورد ؛ پس 23789 بر 5 نیز 4 تا باقی­مانده دارد.

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 6 :  

اعدای بر 6 بخش­پذیرند که هم بر 2 و هم بر 3 بخش­پذیر باشند. پس هیچ عدد فردی بر 6 بخش­پذیر نیست.

برای تعیین باقی­مانده­ی تقسیم یک عدد بر6  رقم یکان را با 4 برابر تک­تک ارقام دیگر جمع می­کنیم.

برای راحتی کار، اگر 4 برابر رقمی بر 6 بخش­پذیر بود؛ از مجموعه حذف می­شود.

مثال: در عدد  2316908 ، چهار برابر هر یک از ارقام 0، 9، 6 و 3 بر6 بخش­پذیرند پس:  (  20= 8 + 1 × 4 + 2 × 4)

چون 20 بر 6 دو تا باقی­مانده دارد؛ 2316908 بر 6 نیز 2 تا باقی­مانده دارد.

قاعده ­ی بخش­پذیری بر 7 :  
عددی بر۷ بخش پذیر است که اگر ۲ برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر۷ بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

مثال 7 ÷ 1659                 0 = 7×2 - 14                       147 = 9×2 - 165

چون صفر بر 7 چیزی باقی­مانده ندارد؛ پس 1659 بر 7 قابل­قسمت است.     

مثال 7 ÷ 265                 16 = 5 × 2 – 26  

چون 16 بر 7 دو تا باقی­مانده دارد؛ پس 265 بر 7 دو تا باقی­مانده می­آورد.

 قاعده ­ی بخش­پذیری بر 8 :  

الف) اعدادی بر 8 بخش­پذیرند که عدد حاصل از سه رقم سمت راست آن­ها بر 8 بخش­پذیر باشند.

مثال:  23000 ،   45008 ،  93016  ، 57448 ، 32240  ، 57800

ب) اعدادی بر 8 بخش­پذیرند که حاصل جمع رقم یکان و 2 برابر رقم دهگان و 4 برابر رقم صدگان آن­ها بر 8 بخش­پذیر باشد.  مثال: 8 ÷ 32568921296    ( 32 = 6 + 9 × 2 + 2 × 4)

چون 32 مضرب 8 می­باشد؛ پس 32568921296 بر 8 بخش­پذیر است.

نکته : چون 4 برابر 2 بر 8 بخش­پذیر است؛ 2 از مجموعه حذف می­شود. ( 24 = 6 + 9 × 2)

مثال:  8 ÷ 23214586035   ( 11 = 5 + 3 × 2)  11 بر 8 سه تا باقی­مانده دارد؛ پس این تقسیم نیز 3 تا باقی­مانده دارد.

قاعده­ ی بخش­پذیری بر 9 :

عددی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقامش بر 9 بخش پذیر باشد. باقی مانده­ی تقسیم عدد بر 9 همان باقی­مانده­ی تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 9 است.مثال- مجموع رقم­های عدد 4581 برابر 18 است و 18 بر 9 بخش پذیر می­باشد، بنابراین عدد4581 بر 9 بخش­پذیر است.

 مثال- مجموع رقم­های عدد 2408 برابر 14 است و 14 بر 9 بخش پذیر نمی­باشد و 5 تا باقی­مانده می­آورد؛ بنابراین عدد2408 بر 9 بخش­پذیر نیست و تقسیم 2408 بر 9 پنج تا باقی­مانده دارد.

نکته: در اعدادی مثل 123456789987654321 ارقام 9 و هر دو تا رقمی که حاصل جمع آن­ها 9 می­شود از مجموعه حذف می­شوند.

عدد 123456789987654321 بر 9 قابل ­قسمت است. چون رقم­های 9 و هر دو تا رقمی که حاصل جمع­شان 9 است حذف شوند؛ چیزی باقی نمی­ماند.( 000            9 = 8 + 1      9 = 7 +2        9 = 6 + 3 ) 

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 10 :

الف)عددی بر 10 بخش­پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد. مثال: 33780

ب) عددی که هم بر 2 و هم بر 5 بخش­پذیر باشد، بر 10 نیز بخش­پذیر است. مثال: 120

رقم یکان هر عدد باقی­مانده­ ی آن عدد بر 10 خواهد بود.

مثال : یکان 325، پنج می­باشد؛ پس باقیمانده­ ی تقسیم 10 ÷ 325 هم 5 می­باشد.

    قاعده­ ی بخش­پذیری بر 11 :

برای این­که بدانیم عددی بر 11 بخش­پذیر هست یا نه، ارقام آن را یکی در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم. اگر باقی­مانده صفر یا مضربی از 11 بود؛ آن عدد بر 11 بخش­پذیر است. مثال: 19084758 

22 = 10 – 32             10 = 1 + 0 + 4 + 5             32 = 8 + 7 + 8 + 9

چون 22 بر 11 بخش­پذیر است؛ پس 19084758 نیز بر 11 قابل­قسمت است.

 برای تعیین باقی­مانده­ی تقسیم بر 11 دو وضعیت پیش می­آید. وقتی ارقام آن عدد را به دو دسته تقسیم می­کنیم تا با هم جمع کنیم؛ رقم یکان در یک دسته قرار می­گیرد و رقم دهگان در دسته­ی دیگر.

الف) اگر رقم یکان در دسته­ای قرار گرفت که حاصل جمع آن بیش­تر است؛ باقی­مانده­ی تفریق همان باقی­مانده­ی تقسیم است.(البتّه در صورت لزوم باید بزرگ­ترین مضرب 11 ممکن را از آن کم کرد.) مثال:  382907

حاصل جمع دسته­ای که یکان در آن قرار دارد         24 = 7 + 9 + 8

حاصل جمع دسته­ای که دهگان در آن قرار دارد           5 = 0 + 2 + 3  

          باقی­مانده­ ی تقسیم                      8 = 11 – 19            19 = 5 – 24      

 پس باقی­مانده ­­ی تقسیم  11 ÷ 382907 عدد 8 خواهد بود.

ب) اگر رقم دهگان در دسته­ای قرار گرفت که حاصل جمع آن بیش­تر است؛ باید عدد آخر را از 11 کم کرد. مثال: 629471

 حاصل جمع دسته­ای که یکان در آن قرار دارد            7= 1+ 4 + 2

حاصل جمع دسته­ای که دهگان در آن قرار دارد             22 = 7+9+6 

  اختلاف حاصل جمع دو دسته            15=7 – 22 

فاصله­­ ی629471 تا بخش­پذیری  بر 11            4 = 11-15               

باقی­مانده ی تقسیم11 ÷ 629471                7=4-11

 نکته: برای اعداد دو و سه رقمی ، ره ساده­ تری نیز وجود دارد.

هر عدد دو رقمی که رقم­هایش مثل هم باشد؛ بر 11 بخش­پذیر است. مثل 55 ، 99، 66

هر عدد سه رقمی که مجموع رقم­های یکان و صدگانش برابر رقم دهگان آن باشد؛

ویا اختلاف « مجموع رقم­های یکان و صدگان» با « رقم دهگان» برابر 11 باشد؛ بر 11 بخش­پذیر است.

مثال برای قسمت اوّل:  781    583       253      495     121

مثال برای قسمت دوم:     704    506     715       968      979

  قاعده ­ی بخش­پذیری بر 12 :

می­دانیم که: 12= 4 × 3           12 = 6 × 2 

3 و 4 که مقسوم­علیه­های 12 هستند و حاصل ضرب آن­ها 12 می­شود؛ نسبت به هم اوّلند؛ ولی 6 بر 2 قابل­قسمت است.

پس باید گفت که:

اعدادی که هم بر 4 و هم بر 3 بخش­پذیر باشند؛ بر 12 نیز بخش­پذیرند.

مثال:  3456 که هم بر 4 و هم بر 3 بخش­پذیر است؛ پس بر 12 نیز قابل­قسمت است.

   قاعده­ ی بخش­پذیری بر 13 :

 عددی بر13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر13 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.) مثال: 13÷689 

                                                                                                        104 = 36 + 68 = 9 × 4 + 68

چون26 بر 13 قابل قسمت است پس 689 بر 13 قابل قسمت است.                         26 = 4 × 4 + 10  

 *نکته: اگر یک عدد 3 رقمی را دو بار کنار هم بنویسیم تا یک عدد 6 رقمی به­دست آید؛ این عدد 6 رقمی حتماً بر اعداد 7 و 11 و 13 بخش­پذیر خواهد بود. مثال: 256  عدد256256 هم بر 7 و هم بر 11 و هم بر 13 قابل قسمت است.

125 = 13 ÷ 11 ÷ 7 ÷ 125125                125125 = 13× 11× 7× 125

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 14 :               14 = 7 × 2

اعدادی که هم بر 2 و هم بر 7 بخش­پذیر باشند؛ بر 14 نیز بخش­پذیرند. یا اعداد زوجی که بر 7 بخش­پذیر باشند.

مثال:  140 ،  28 ، 560 ،           714210280003500490

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 15 :               15 = 5 × 3

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 5 بخش­پذیر باشند؛ بر 15 نیز بخش­پذیرند.  مثال:  45 ، 270 ،  555 ،  97215

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 16 :   

عددی بر 16 بخش­پذیر است که چهار رقم سمت راست آن صفر یا بر 16 بخش­پذیر باشد.   

مثال: 10000 ،          50000 ،       3750016 ،      96870032،        235641632    

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 17 :   

عددی بر17 بخش پذیر است که اگر 5 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر۷ بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

مثال: 17 × 153                 0 = 3 × 5 – 15

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 18 :   

اعدادی که هم بر 2 و هم بر 9 بخش­پذیر باشند؛ بر 18 نیز بخش­پذیرند.یا اعداد زوجی که بر 9 قابل­قسمتند.

مثال: 36 ، 2574 ،  720000 ، 1234567890

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 19 : 

عددی بر19 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر19 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.) مثال: 19÷285

                                           38 = 28 + 5 × 2 

 قاعده ­ی بخش­پذیری بر 20 : 

اعدادی که هم بر 4 و هم بر 5 بخش­پذیر باشند؛ بر 20 نیز بخش­پذیرند.

اعدادی بر 20 قابل­قسمتند که یکان آن­ها صفر و رقم دهگان ­آن­ها زوج باشد. مثال: 40  ، 7380 ، 35700

  قاعده­ ی بخش­پذیری بر 21 : 

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 7 بخش­پذیر باشند؛ بر 21 نیز بخش­پذیرند. مثال: 42 ، 84  ، 105، 214200

 قاعده ­ی بخش­پذیری بر 22 :   

اعدادی که هم بر 2 و هم بر 11 بخش­پذیر باشند؛ بر 22 نیز بخش­پذیرند.یا اعداد زوجی که بر 11 قابل­ قسمتند.

مثال:44 ، 66 ، 88 ،  286 ، 594 ، 110 ، 374374

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 23 : 

عددی بر23 بخش پذیر است که اگر 7 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر23 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

مثال: 23 ÷ 138                     69 = 8 × 7 + 13

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 24 :   

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 8 بخش­پذیر باشند؛ بر 24 نیز بخش­پذیرند. مثال: 48 ، 72 ، 888000 ، 3000

قاعده­ ی بخش­پذیری بر 25 :   

اعدادی بر 25 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها بر 25 بخش­پذیر باشد.

اعدادی بر 25 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها 00 ، 25 ، 50  و یا 75 باشد.

مثال : 300 ، 13425 ، 9852150 ، 321475

برای تعیین باقی­مانده­ی تقسیم یک عدد بر 25 بزرگ­ترین مضرب ممکن 25 را از دو رقم سمت راست عدد کم می­کنیم.

مثال : 25 ÷ 473283     چون 8 = 75 – 83  پس تقسیم مربوطه 8 تا باقی­مانده دارد.

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 50 :   

اعدادی بر 50 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها بر 50 بخش­پذیر باشد.

اعدادی بر 25 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها  00  و یا 50 باشد.

مثال : 300 ،  123450 ، 7900000

 اگر دو رقم سمت راست عددی کم­تر از 50 بود آن دو رقم همان باقی­مانده­ی تقسیم می­باشد.

اگر دو رقم سمت راست عددی بزرگ­تر از 50 بود؛ 50 را از آن کم می کنیم.

مثال: در تقسیم 50 ÷ 12342 باقیمانده 42 می­باشد. در تقسیم 584290 باقی­مانده­ی تقسیم 50-90 یعنی 40 می­باشد.

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 75 :   

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 25 بخش­پذیر باشند؛ بر 75 نیز بخش­پذیرند. مثال:  150 ، 225 ، 75000

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 99 :   

اعدادی که هم بر 9 و هم بر 11 بخش­پذیر باشند؛ بر 99 نیز بخش­پذیرند. مثال : 495 ، 3960 ، 369369

 قاعده­ ی بخش­پذیری بر 100 :   

اعدادی که هم بر 4 و هم بر 25 بخش­پذیر باشند؛ بر 100 نیز بخش­پذیرند. یا اعدادی که دو رقم سمت راست آن­ها صفر باشد. مثال: 700 ، 12340000

دو رقم سمت راست هر عدد باقی­مانده­ی آن عدد بر 100 خواهد بود. مثال: باقی­مانده­ی 100÷ 234578 عدد 78 می­باشد.

 نکته: با استفاده از قاعده­ی بخش­پذیری بر 10 و 100 می­توان به قاعده­ی بخش­پذیری بر 1000 ، 100000 ، دست یافت.

 نکته : اگر در تقسیمی مقسوم بر مقسوم­علیه بخش­پذیر باشد؛ مقسوم بر تمامی مقسوم­علیه­های این مقسوم علیه نیز بخش­پذیر است. مثلاً 100 بر 50 ، 25 ، 20 ، 10 ، 5 ، 4 و 2 قابل­قسمت است و چون 200 بر 100 بخش­پذیر است؛

 پس 200 بر50 ، 25 ، 20 ، 10 ، 5 ، 4 و 2 نیز قابل­ قسمت است.

بخش‌پذیری

بخش‌پذیری یک رابطه ریاضی میان دو عدد صحیح است.

یک عدد درست تنها زمانی به عدد درست دیگر بخش پذیر است که از بخش آن باقی‌مانده‌ای برجای نماند. براین پایه عدد ۸ به عدد ۴ بخش پذیر است.

عددی به ۲ بخش پذیر است که یکان آن ۰، ۲، ۴، ۶ یا ۸ باشد.

عددی به ۴ بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از دو رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۴ بخش پذیر باشد.

عددی به ۸ بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از سه رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۸ بخش پذیر باشد.

عددی به ۱۶ بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از چهار رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۱۶ بخش پذیر باشد.

در کل، عددی به ۲ به نمای n بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از n رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۲ به نمای n بخش پذیر باشد.

عددی به ۵ بخش پذیر است، هر آنگاه که یکان آن عدد به ۵ بخش پذیر باشد (۰ یا ۵).

عددی به۲۵ بخش پذیر است، هر آنگاه، عددی که با دو رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۲۵ بخش پذیر باشد (۰۰ یا ۲۵ یا ۵۰ یا ۷۵).

عددی به۱۲۵ بخش پذیر است، هر آنگاه، عددی که با سه رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۱۲۵ بخش پذیر باشد.

عددی به۶۲۵ بخش پذیر است، هر آنگاه، عددی که با چهار رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۶۲۵ بخش پذیر باشد.

در کل، عددی به ۵ به نمای n بخش پذیر است، هرآنگاه، عددی که از n رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۵ به نمای n بخش پذیر باشد.

عددی به ۳ بخش پذیر است که مجموع رقم‌های آن به ۳ بخش پذیر باشد.

عددی به ۶ بخش پذیر است، که به ۲ بخش پذیر بوده و مجموع آن به ۳ بخش پذیر باشد.

عددی به ۹ بخش پذیر است که مجموع آن به ۹ بخش پذیر باشد.

عددی بر ۱۱ بخش پذیر است که تفاضل جمع ارقام در جایگاه‌های فرد و جمع ارقام در جایگاه‌های زوج آن بر ۱۱ بخش‌پذیر باشد.