اجتماع (نظریه مجموعه‌ها)

در نظریه مجموعه‌ها، اجتماع (به انگلیسی: union) که با نماد ∪ نشان‌داده می‌شود، برای یک گردآورد از مجموعه‌ها برابر مجموعه همه عناصر در آن گردآورد است.^[۱] این عمل یکی از عملیات بنیادین است که از طریق آن می‌توان مجموعه‌ها را ترکیب کرد و با هم مرتبط نمود. یک اجتماع پوچ به اجتماع مجموعه‌های صفر ( $0$ ) اشاره دارد و طبق تعریف برابر مجموعه تهی است.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد (یعنی S یک رده باشد)، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر $A\in S$ داشته باشیم $A\subseteq C$ .

اجتماع همه اعضای S که آن را با $\bigcup S$ یا $\bigcup _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcup S:=\bigcup _{A\in S}A:=\{x\in C:\exists A\in S,x\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، $\bigcup \{A,B\}$ را با $A\cup B$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با $A\cup B\cup C$ ،... و اجتماع n مجموعه $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ را با $A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که