اشتراک

اشتراک

اشتراک دو مجموعه ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ که توسط دایره نشان داده شده اند، و ${\displaystyle �\cap �}$ قسمت قرمز رنگ است.
گونه	عمل مجموعه
گرایش	نظریه مجموعه‌ها
گزاره	اشتراک برابر مجموعه عناصری است که هم در مجموعه ${\displaystyle �}$ و هم در مجموعه ${\displaystyle �}$ موجوداند.
بیان نمادین	${\displaystyle �\cap �=\{�:�\in �\text{ and }�\in �\}}$

اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها می‌نامیم و آن را با نماد ∩ نشان می‌دهیم مثل : A∩B

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و ${\displaystyle �\in �}$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با ${\displaystyle \bigcap �}$ یا ${\displaystyle \bigcap _{�\in �}�}$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \bigcap �:=\bigcap _{�\in �}�:=\{�\in �:\mathrm{\forall }�\in �,�\in �\}}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود ${\displaystyle \bigcap �:=�}$.

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با ${\displaystyle �\cap �}$ نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با ${\displaystyle �\cap �\cap �}$،... و اشتراک n مجموعه ${\displaystyle {�}_1,{�}_2,\cdots ,{�}_{�}}$ را با ${\displaystyle {�}_1\cap {�}_2\cap \cdots \cap {�}_{�}}$ نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

${\displaystyle {�}_1\cap {�}_2\cap \cdots {�}_{�}=({�}_1\cap {�}_2\cap \cdots {�}_{�-1})\cap {�}_{�}}$

خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با ${\displaystyle �\cup �}$ نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

${\displaystyle �\cap �=�}$

${\displaystyle �\cap �=�\cap �}$

${\displaystyle �\cap �=�\cap �=�}$

${\displaystyle (�\cap �)\cap �=�\cap (�\cap �)}$

${\displaystyle �\cap (�\cup �)=(�\cap �)\cup (�\cap �)}$

${\displaystyle �\cup (�\cap �)=(�\cup �)\cap (�\cup �)}$

${\displaystyle �\subseteq �}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle �\cap �=�}$