سه تایی های فیثاغورثی

۱۶ سه تایی فیثاغورثی اولیه (یعنی سه تایی هایی که نسبت به هم متباین باشند) کوچکتر از ۱۰۰ وجود دارند:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

-----------------------

روش به دست آوردن

محاسبه ذهنی

به دست آوردن نمونه‌ای از اعداد فیثاغورسیِ کوچک به صورت ذهنی می‌تواند بسیار آسان باشد؛ به‌گونه‌ای که تمام مضارب اعداد ۳٬۴٬۵ جزء اعداد فیثاغورسی‌اند. 

به عنوان نمونه ${\displaystyle 2(3),2(4),2(5)}$ که ۱۰و۸و۶ هستند. این موضوع با تمام مضارب دیگر نیز برقرار خواهد بود.

میتوان از تساوی های جبری نیز برای بدست آوردن اعداد فیثاغورس استفاده کرد.

برای مثال 

**برای n که عددی طبیعی و بزرگتر از یک است داریم تمام اعداد به شکل ${\displaystyle 2n-1,2n^{2}-2n,2n^{2}-2n+1}$ اعداد فیثاغورسی‌اند.

(از این فرمول میتوان نتیجه گرفت تمام اعداد فرد بزرگتر از یک میتوانند در سه تایی فیثاغورسی شرکت کنند و کوچکترین عضو باشند)

***همچنین اگر x و y دو عدد نسبت به هم اول باشند و x بزرگتر از y باشد اعداد ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}),(2xy),(x^{2}-y^{2})}$ نیز اعداد فیثاغورسی‌اند.

-------------------------------------------------------------------

منابع کامل در این موضوع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

تناقض تنگرام

Tangram

یک بازی با ۷ قطعهٔ‌مسطح است که با در کنار هم گذاشتن آنها، شکل‌های گوناگونی ساخته می‌شود. 

.........................................

یک تناقض تنگرام هنگامی پدید می‌آید که دو شکلی که با همین هفت قطعه ساخته شده‌اند چنین به نظر می‌رسد که مساحت‌های متفاوتی را پوشش داده‌اند و به نظر می‌رسد که یکی از آنها قطعه‌ای اضافی دارد. (در حالی‌که چنین نیست) یکی از تناقضات مشهور در تنگرام را هنری دودنی کشف کرد که مربوط به دو شکل یک راهب است که یکی از آنها پا دارد و دیگری ندارد. در حقیقت پای اضافه از جابجایی قطعات بدست آمده‌است و هیچ قطعه‌ای در هیچ‌یک از دو شکل اضافه یا کم نشده‌است. یکی دیگر از تناقضات معروف را سم لوید کشف کرده که با نام تناقض جام جادویی تنگرام، در کتاب هشت کتاب تان (The Eighth Book Of Tan) آمده‌است. (چاپ‌شده به سال ۱۹۰۳ میلادی)

• 

  تناقض دو راهب. هر دو شکل شبیه به یکدیگرند ولی یکی از آنها پا دارد.

 
• 

  تناقض جام جادویی تنگرام. با هفت قطعهٔ استاندارد تنگرام، این سه شکل متفاوت ساخته شده که دو تا از آنها در درون خود قسمت‌های خالی دارند. چگونگی ساختن هر یک از این سه طرح در پایین تصویر نشان داده شده‌است. (دقت کنید که شکل سمت چپ کوتاه‌تر از دوتای دیگر و شکل میانی پهن‌تر از آن دوتای دیگر است.)^[۴]

 
• 

  تناقض مربع بریده. از کتاب لوید (۱۹۰۳ میلادی)

اثبات تصویری قضیه فیثاغورث

• 

  اثبات تصویری قضیه فیثاغورث

 
• 

  اثبات تصویری قضیه فیثاغورث

 
• 

  اثبات قضیه فیثاغورث

 
• 

  اثبات به حالت تانگرام برای قضیه فیثاغورث

انیمیشنی که نشانگر نحوه ساخت ساده ترین سه تایی فیثاغورثی

انیمیشنی که نشانگر نحوه ساخت ساده ترین سه تایی فیثاغورثی ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$ است.

  

انیمیشنی که نشانگر نحوه ساخت ساده ترین سه تایی فیثاغورثی ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$ است.

دیدن با بزرگنمایی

فیثاغورس

 رابطه 1 

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/c

اثبات با استفاده از بازچینی[ویرایش]

در نگارهٔ پویای سمت چپ، مساحت کل و مساحت مثلث‌ها همگی ثابت است؛ بنابراین، مساحت کل ناحیهٔ سیاه رنگ، ثابت است. اما ناحیهٔ اصلی سیاه رنگ با ضلع c را می‌توان به دو مربع با ضلع‌های a و b تقسیم کرد و نشان داد که: a^۲ + b^۲ = c^۲.

اثبات دوم با استفاده از نگارهٔ پویای میانی است. مربع بزرگ اول، مساحتی برابر با c^۲ دارد با کنار هم قرار دادن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان و به دلیل اختلاف طول ضلع مثلث‌ها، یک مربع کوچک میان آن‌ها و در مرکز مربع بزرگ باقی می‌ماند. اگر یک بار دیگر نگاه کنیم می‌بینیم که با جابجایی مثلث‌ها، دو مستطیل با ضلع‌های a و b تشکیل شده‌است. با ادغام مربع کوچک میانی با یکی از مستطیل‌ها، دو مستطیل به دو مربع تبدیل خواهد شد و مساحت هریک از آن‌ها برابر با a^۲ و b^۲ خواهد بود؛ بنابراین c^۲ = a^۲ + b^۲. است.

نگارهٔ سوم سمت راست، نیز خود یک اثبات است. همان گونه که در نگاره نمایش داده شده‌است، دو مربع بالایی، با سایه‌های آبی و سبز به چندین بخش تقسیم شده‌اند. اگر این قسمت‌های سایه‌خورده را کنار هم بچینیم می‌بینیم که مربع پایینی روی وتر را به خوبی پر می‌کنند؛ عکس این مطلب نیز برقرار است یعنی مربع پایینی که روی وتر تشکیل شده را می‌توان چنان قسمت کرد که دو مربع بالایی به خوبی با این قسمت‌ها پر شود. با این کار نشان دادیم که مساحت مربع بزرگ برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع کوچک.^[۱۱]

اثبات با استفاده از بازچینی چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان

پویانمایی برای نمایش یک اثبات دیگر بوسیلهٔ بازچینی[۱۲]

اثبات با استفاده از نمایش ریزه‌کاری‌های بازچینی

اثبات جبری[ویرایش]

نگاره‌های مربوط به دو اثبات جبری.

قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان با استفاده از چیدن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان با ضلع‌های a و b و c درون یک مربع با ضلع c به صورت جبری اثبات کرد.^[۱۳] مثلث‌ها یکسانند و مساحتی برابر با ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$ دارند. مربع کوچک ضلعی برابر با b − a و مساحتی برابر با ^۲ (b − a) به این ترتیب مساحت مربع بزرگ برابر خواهد بود با:

${\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}}$

و چون این مربع ضلعی برابر با c دارد پس مساحتی برابر با ^۲ c خواهد داشت، می‌توان نتیجه گرفت:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

همان گونه که در پایین نگاره می‌توان دید، اثبات مشابه دیگری وجود دارد که در آن با استفاده از بازچینی چهار مثلث یکسان به دور مربعی به ضلع c به نتیجه می‌رسد.^[۱۴] با این کار مربع بزرگتری به ضلع (a+b) و در نتیجه با مساحت ^۲ (a+b) تشکیل می‌شود. چهار مثلث و مربع با ضلع c مساحتی برابر با مساحت مربع بزرگتر دارد.

${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab}$

با جابجایی عبارت پشت تساوی خواهیم داشت:

${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}}$

اثبات دیگری برای این قضیه ارائه شده‌است که آن را به جیمز آبرام گارفیلد نسبت می‌دهند.^[۱۵][۱۶] در این اثبات به‌جای مربع از یک ذوزنقه استفاده می‌شود. بخشی از این ذوزنقه از دو نیم کردن (به صورت قطری) مربعی که در اثبات دوم در بالا گفته شد تشکیل شده‌است. مساحت ذوزنقه برابر با نصف مساحت آن مربع است:

نگارهٔ مربوط به اثبات گارفیلد

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}}$

مربع داخلی نیز دو نیم شده‌است، ادامهٔ اثبات به همان روش مشابه‌است با این تفاوت که عامل ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ را اضافه‌تر دارد؛ که با دو برابر کردن کل عبارت به آسانی حذف می‌شود.

اثبات به روش دیفرانسیلی[ویرایش]

یک راه اثبات فیثاغورس، نگاه به این مطلب است که با تغییر طول یکی از اضلاع مثلث، در اندازهٔ وتر چه تغییری صورت می‌گیرد، این کار را باید با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال انجام داد.^[۱۷][۱۸] این نوع اثبات را اثبات به روش اندازه‌گیری می‌نامند و از نوع اثبات دانتزیگ است که در آن به اندازه‌گیری طول‌ها می‌پردازند و نه مساحت‌ها.

همان‌گونه که در شکل نشان داده شده‌است، می‌توان از دو مثلث راست‌گوشهٔ ADP و AQP استفاده کرد تا حدهای بالایی و پایینی نسبت دیفرانسیل Δc/Δa را معلوم کرد؛ بنابراین حد را می‌توان از Δa, Δc → ۰, گرفت. از نتیجهٔ مشتق dc /da می‌توان برای اثبات فیثاغورس استفاده کرد.

از مثلث ABC:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {AB}{AC}}={\frac {a+\Delta a}{c+\Delta c}}}$

حال مثلث ADP را رسم می‌کنیم، سپس:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {AD}{AP}}={\frac {AD}{\Delta a}}>{\frac {\Delta c}{\Delta a}}}$

نگاره‌ای که برای بدست آوردن حدهای بالایی و پایینی ${\displaystyle \Delta c/\Delta a}$^[۱۷] کشیده شده‌است.

همان گونه که در قسمت بالای نگاره نشان داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از AD> Δc نتیجه گرفت، با ترکیب cos θ در عبارت بدست می‌آید:^[۱۹]

${\displaystyle {\frac {\Delta c}{\Delta a}}<{\frac {a+\Delta a}{c+\Delta c}}}$

پس از آن مثلث راست‌گوشهٔ AQP را تشکیل می‌دهیم (قسمت پایین نگاره) چون هر دو مثلث AQP و PBC یک زاویهٔ ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ دارند، پس:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {a}{c}}={\frac {PQ}{PA}}={\frac {PQ}{\Delta a}}<{\frac {\Delta c}{\Delta a}}}$

همان‌گونه که در نگارهٔ پایینی نمایش داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از PQ <Δc نتیجه گرفت، با ترکیب دو نامساوی که از مثلث‌های ADP و AQP بدست آمد، ایجاد می‌شود:

${\displaystyle {\frac {a}{c}}<{\frac {\Delta c}{\Delta a}}<{\frac {a+\Delta a}{c+\Delta c}}=\left({\frac {a}{c}}\right){\frac {1+\Delta a/a}{1+\Delta c/c}}}$

حال حدهای بالایی و پایینی نسبت Δc /Δa را در اختیار داریم. وقتی که Δc و Δa به سمت صفر میل کنند، نسبت Δc /Δa به مشتق dc /da تبدیل می‌شود و حد بالایی و حد پایینی یکی می‌شود و خواهیم داشت:

${\displaystyle {\frac {dc}{da}}={\frac {a}{c}}}$

یا

${\displaystyle c\,dc=a\,da;\ d(c^{2})=d(a^{2})}$

که انتگرالی برابر با مقدار زیر خواهد داشت:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+}$ مقدار ثابت

آنگاه که a = ۰ و c = b باشد، مقدار ثابت جواب انتگرال برابر با b^۲ خواهد بود؛ بنابراین استدلال قضیهٔ فیثاغورس اثبات شد.

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

وارون قضیه[ویرایش]

درستی وارون قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان اثبات کرد.^[۲۰]

برای هر سه عدد مثبت a و b و c که در عبارت a^۲ + b^۲ = c^۲ صدق کنند؛ می‌توان مثلثی پیدا کرد با طول ضلع‌های a و b و c که حتماً دارای زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) میان ضلع‌های a و b است.

چنین اعدادی را اعداد فیثاغورسی می‌نامند. بیان دیگر وارون قضیه عبارت است از:

برای هر مثلثی با اضلاع a و b و c اگر a^۲ + b^۲ = c^۲ باشد آنگاه زاویهٔ میان اضلاع a و b برابر با ۹۰ درجه خواهد بود.

بیان استفاده شده در کتاب اصول اقلیدوس (کتاب اول، گزاره ۴۸):^[۲۱]

اگر مربع یکی از اضلاع مثلثی برابر باشد با مجموع مربع‌های دوضلع دیگر، آنگاه زاویهٔ تشکیل شده با آن دو ضلع، یک زاویهٔ راست است.

درستی این مطلب را می‌توان با استفاده از قانون کسینوس‌ها اثبات کرد.

فرض کنید ABC مثلثی با اضلاع a و b و c باشد که a^۲ + b^۲ = c^۲. حال باید ثابت کرد که زاویهٔ میان a و b زاویه‌ای راست است. مثلث دیگری می‌سازیم با ضلع‌های a و b و با یک زاویهٔ راست میان دو ضلع آن، چون می‌دانیم قضیهٔ فیثاغورس درست است پس طبق این قضیه باید وتر مثلث طولی برابر با c = √(a^۲ + b^۲) داشته باشد. پس وتر مثلث دوم طولی برابر با وتر مثلث اول دارد. پس دو مثلث با یکدیگر برابرند از هم نهشتی دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌های دو به دو برابر نیز دارند. پس زاویهٔ میان ضلع‌های a و b در مثلث اصلی خود، زاویه‌ای راست است.

با استفاده از وارون قضیهٔ فیثاغورس می‌توان به آسانی پیدا کرد که یک مثلث زاویهٔ راست، تند یا بازدارد. اگر بزرگترین ضلع یک مثلث را c نامگذاری کنیم، بر اساس نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت a + b> c است (اگر چنین نباشد یعنی مثلثی تشکیل نشده‌است) حال با استفاده از وارون قضیه فیثاغورس و نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت:^[۲۲]

• اگر a^۲ + b^۲ = c^۲, آنگاه مثلث راست‌گوشه‌است.
• اگر a^۲ + b^۲> c^۲, آنگاه مثلث تیزگوشه‌است. (دارای زاویهٔ تند)
• اگر a^۲ + b^۲ <c^۲, آنگاه مثلث دارای زاویه‌ای باز است. (بیش از ۹۰ درجه)

ادسخر دیکسترا برای تشخیص زاویهٔ مثلث‌ها پیشنهاد زیر را داده‌است:

sgn(α + β − γ) = sgn(a^۲ + b^۲ − c^۲)

که در آن α زاویهٔ مقابل به ضلع a و β زاویهٔ مقابل به ضلع b و γ زاویهٔ مقابل به ضلع c است؛ و sgn عبارت تابع علامت می‌باشد.^[۲۳]