ویژگی هندسی فانگ مثلث خیام پاسکال

ویژگی هندسی فانگ

ایا دو عدد در مثلث پاسکال می‌توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟ عناصر واقع در قطر ۳، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع ۲ عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است. اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد. داریم:

Tn+Tn+1=n2

واین نتیجه می‌دهد.

برای تفریق داریم

دنبالهٔ فیبوناتچی و مثلث خیام پاسکال

دنبالهٔ فیبوناتچی

اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم. داریم:

مجموعه اعداد روی قطرها دنبالهٔ :

 … و۱۳و۸و۵و۳و۱و۱

تشکیل می‌دهد. در این دنباله جمله اول ودوم ۱ است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی اش می‌شوند

F1=F2=1 Fn+۲=Fn+1+Fn

اثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است. اگر شیب قطرهای فیبوناچی را بیشتر کنیم. به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافت

اگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم

 G1=G2=G3=1 Gn+۲=Gn+1+Gn-1

تعمیم‌های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.

دنبالهٔ اعداد مصور و مثلث خیام پاسکال

دنبالهٔ اعداد مصور

در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر ۲ از اعداد مثلثی و قطر۳ از اعداد ۴وجهی تشکیل شده‌اند.

با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می‌شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد ۴ وجهی مجموع چند عدد مثلثی است. به‌طور کلی می‌توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده‌اند که به صورت (c(n,kمی‌باشد. در ضمن داریم:

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{�})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�-1}{�-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�-2}{�-1})+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�-1}{�-1})}$

مثلث خیام و پاسکال 2

مثلث خیام پاسکال یک ساختار عددی است که خواص بسیار جالبی دارد. مثلث خیام-پاسکال به آرایش مثلث شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گویند.

خواص این مثلث را در آسیا و اروپا ریاضی ‌دانان مختلفی بررسی کرده‌اند. ایران، هند، چین و ایتالیا از جمله این کشورها هستند. به عنوان مثال پینگالا از هند و عمر خیام از ایران در زمان مشابهی اولین استفاده‌ها از این مثلث را در رساله‌های خود بکار برده‌اند. به عنوان مثال در آثار خواجه نصیر الدین طوسی از مثلث خیام پاسکال برای محاسبه‌ی ضرایب بسط یک عبارت جبری استفاده شده است.

بعد از عمر خیام، در قرن 12 میلادی، در آثار یانگ هویی (ریاضی دان چینی) نیز ساختار عددی مثلث خیام پاسکال دیده شده است.

در قرن 16 تارتالیا (ریاضی دان ایتالیایی) و بعد از او بلز پاسکال و نیوتن نیز بر روی مثلث خیام کار کرده‌اند. راجع به این که دانشمندان مختلف به صورت مستقل و بدون آگاهی از کارهای قبل از خودشان به کشف این مثلث رسیده‌اند یا نه اختلافات تاریخی ممکن است وجود داشته باشد. این موضوع را از روی اسامی مختلف این مثلث می‌توان فهمید مثلاً مثلث خیام، مثلث خیام پاسکال، مثلث نیوتن و ….  این موارد نشان می‌دهد که ممکن است به لخاظ تاریخ علم برخی اعتقاد به کشف مستقل این مثلث از سوی دانشمندان مختلف داشته باشند.

نامگذاری و تاریخچه

«مثلث خیام-پاسکال» را «مثلث خیام-پاسکال-نیوتن» نیز می‌گویند. این مثلث توسط دانشمندان گوناگونی از هند و ایران و چین و غیره و بعدتر در اروپا بررسی شده‌است و در زبان‌های گوناگون نام‌های مختلفی دارد. در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته‌است. در آثار متون سانسکریتِ پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند.

کتاب مشکلات الحساب، کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید. بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتن روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.

مثلث خیام چیست؟

این ساختار عددی در اطراف خود اعداد یک را دارد. هر عدد در این مثلث مجموع دو عددی است که در بالا، و سمت چپ و راست آن قرار دارند. برای مثال:

1 + 1  = 2
1 + 2  = 3
1 + 3  = 4

برای درک بهتر انیمیشن زیر را نگاه کنید:

انیمیشن مثلث خیام پاسکال

مثلاً عدد 6 میانی حاصل جمع دو عدد 3 بالا سر خود است. یا عدد 5 حاصل جمع 4 و 1 بالاسر خودش است. اگر دقت کنید این یک ساختار متقارن است. یعنی یک خط تقارن مرکزی می‌توان برای مثلث بالا رسم کرد. مثلاً در سطر پنجم دو عدد 4 در اطراف عدد مرکزی ( عدد 6 ) به صورت متقارن قرار دارند.

کاربرد و خواص مثلث خیام - پاسکال

کاربرد اول:

مهمترین کاربرد این مثلث در محاسبه ضرایب بسط دو جمله ای نیوتن است. ضرایب بسط توان nام دو جمله‌ای در سطر n+1 قرار دارد.

کاربرد دوم:

اگر به جای a و b عدد یک را بگذاریم چه اتفاقی می افتد؟ خاصیت جالب بعدی این است که مجموع اعداد هر سطر از مثلث، یکی از توانهای عدد 2 است: 

به عبارت دیگر ( 1+1 ) n برابر 2n است که با جمع اعداد سطر n+1ام مثلث خیام پاسکال بدست می آید.

 تمرین 1: با استفاده از مثلث خیام پاسکال حاصل 28 رابیابید؟

پاسخ: برای محاسبه 28 باید اعداد سطر نهم مثلث خیام پاسکال را باهم جمع کنیم.

28 =1+8+28+56+70+56+28+8+1=256

کاربرد سوم:

یک ارتباطی بین توان های مختلف عدد 11 و مثلث خیام پاسکال موجود است. یکی از زیباترین خواص این مثلث آن است که اگر اعداد هر سطر را چسبیده به هم بنویسیم، اعداد حاصل توانهای 11 خواهند بود:

توجه کنید:

همان طور که مشاهده می کنید برای محاسبه 11n کافی ست اعداد سطر n+1ام مثلث خیام پاسکال را کنار هم بنویسیم.

 تمرین 2: با استفاده از مثلث خیام پاسکال حاصل 116 را به دست آورید. ابتدا بگویید از کدام سطر باید استفاده کنید؟

پاسخ: برای محاسبه 116  باید اعداد سطر هفتم را کنار هم بنویسیم.

1771561=116

کاربرد چهارم:

یکی دیگر از کاربردهای این مثلث که در کتاب ریاضی دهم برای به وجود آمدن اعداد مثلثی در قطر مثلث خیام پاسکال می باشد.

عددهای مثلثی همواره از 1 شروع می شوند و در مرحله ی اول 2 واحد به عدد اول اضافه می شود تا عدد دوم به دست آید. در مرحله بعد، 3 واحد به عدد قبلی اضافه می گردد و به این ترتیب الگوی عددی شکل می گیرد. در واقع اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع سه عدد از اعداد طبیعی و ... که بالاخره nامین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود.

... , ۲۱ , ۱۵ , ۱۰ , ۶ , ۳ , ۱

اعداد مثلثیاعداد مثلثی به ترتیب بر روی سطر مورب از سمت چپ یا راست قرار دارد.

کاربرد پنجم:

ستون چهارم اعدادتترائدرال (tetrahedral) یا هرم مثلث القاعده را می سازند:

اعدادتترائدرال یا هرم مثلث القاعده

کاربرد ششم:

و بالاخره اینکه مجموع اعداد قطری، دنباله معروف فیبوناچی را خواهد ساخت. البته اگر مثلث را به شکل ویژه قائم الزاویه رسم کنیم:

مثلث سرپینسکی

تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آن ‌چه باقی می‌ماند «مثلث سرپینسکی» نام دارد:

مثلث سرپینسکی

مثلث سرپینسکی حاوی کپی هایی کوچک تر از خود است و می دانیم فراکتال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت هایی تقسیم کرد، به طوری که هر قسمت یک کپی از "کل" شکل باشد.

بنابراین مثلث سرپینسکی نیز یک نوع فراکتال است که از مثلث خیام پاسکال براحتی می تواند حاصل شود.

مثلث سرپینسکی یک نوع فراکتال (خود متشابه) است.

مثلث خیام و پاسکال 1

مثلث خیام را در برخی منابع به ندرت «مثلث خیام – پاسکال – نیوتن» نیز می گویند. این مثلث در زبان های گوناگون نام های دیگری نیز دارد. در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، در زبان ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته است.

در آثار متون سانسکریت پینگالا ریاضی دان هندی نشانه هایی از استفاده از این بسط دیده می شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله ای می کند. کتاب «مشکلات الحساب»، کتابی که اثبات های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تاثیر گرفته از او ضرایب را تا توان 12 می توان دید. بعد از خیام در قرن 12 میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی دان چینی، شکل مثلث به چشم می خورد. در قرن 16 میلادی ریاضی دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی دان فرانسوی هم دوره با نیوتن روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.

مثلث همه کاره ی خیام – پاسکال

برای مشاهده ی تصویر بزرگتر اینجا کلیک کنید.