اعداد تاکسی

عددی را که به n طریق مختلف به صورت حاصل جمع مکعبهای دو عددمثبت باشد ، n ــامین عدد تاکسی می نامند و آنرا با Taxicab Number نمایش می دهند. ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی n ناکوچکتر از 1 ،n ــامین عدد تاکسی وجود دارد!

کوچکترین عددی که به دوطریق حاصلجمع توانهای چهارم دو عدد مثبت می باشد توسط اویلر یافت شده است:

635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنین توانهای چهارم 133 و 134 می باشد.

تاریخچه اعداد تاکسی

زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است .البته اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت 1729 به کارهای بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد.

- خود ۱۷۲۹ عدد اول است.
- دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند.
- جمع چهار رقم (9+2+7+1) تشکیل دهنده آن میشود ۱۹ که اول است.
- جمع دو عدد اولیه (8=7+1) و دو عدد آخری (11=9+2) میشود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است.
- دو عدد ابتدایی (7+1) اگر جمع شوند و کنار دو رقم آخری قرار بگیرند عدد ۸۲۹ میشود که باز هم عدد اول است.
- دو عدد اولیه و در عدد آخری اگر از هم دیگر کم شوند(6=1-7 و 7=2-9)؛عدد ۶۷ ساخته میشود که باز هم عدد اول است.
- سه عدد سازنده آن عدد اول است (۱و۷و ۲).
- جمع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ یا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛
- عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشود نتیجه برابر ۱۷۲۹ می شود. این هم یکی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است که در هر عددی دیده نمیشود.
- عدد 1729 اولین عددی است که می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت :
12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729 می باشند .

اعداد تاکسی دیگر

کوچکترین عددی که به سه طریق مختلف حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت است این عدد 87539319 می باشد که در سال 1957توسط لیچ کشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر 87539319 است .

برای دیدن عکس ها با اندازه واقعی روی آنها کلیک کنید.

ضرب به کمک انگشت ها

یک مولف ایرانی قرن هفدهم بنام بهاءالدین (1622 - 1547)  در کتاب خودش، که بطور وسیعی در ایران و هند پخش شد، به نام «درباره ی اصل محاسبه» ، روش زیبای دیگری در مورد ضرب به کمک انگشتها دارد که برای آنهایی که نمی خواهند یا نمی توانند جدول ضرب را برای عددهای بزرگتر از 5 یاد بگیرند، لازم و مفید است.

فرض کنید که بخواهیم حاصلضرب 8 * 9 را پیدا کنیم. می دانیم 5 + 3 = 8 و 5 + 4 = 9 یعنی :

4 انگشت یک دست و 3 انگشت دست دیگر را می خوابانیم.مجموع انگشتهای خوابیده 4 + 3 رقم دهگان حاصلضرب را نشان می دهد (7) ، و رقم یکان این حاصلضرب عبارت است از حاصلضرب تعداد انگشتهای باز یک دست در تعداد انگشتهای باز دست دیگر 2 = 1 * 2 بنابراین داریم :

برای پیدا کردن حاصلضرب 7 * 8 یعنی باید 3 انگشت از یک دست و 2 انگشت از دست دیگر را خواباند.مجموع انگشتهای خوابیده 5 می شود که رقم دهگان حاصلضرب را تشکیل می دهد و حاصلضرب تعداد انگشتهای باز 6 = 3 * 2 رقم یکان حاصلضرب را معین می کند.به این ترتیب حاصلضرب مطلوب 56 می شود.

ولی افسوس که ما سالها قبل جدول ضرب را به خاطر سپرده ایم!!

مثلث خیام پاسکال تا سطر سی‌ام

برای مشاهده کلیک کنید

ضرب صلیبی

ضرب صلیبی

در اینجا مستطیل‌هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می‌گیریم. رئوس این مستطیل‌ها که بر روی درایه‌های این مثلث واقع شده‌اند در اینجا رابطه‌ای بر حسب درایه‌های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می آوریم. نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطهٔ cدر طول قطر (در امتداد پیکان) جابه‌جا شود

 همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بود

ویژگی چوب چوگان در مثلث خیام پاسکال

ویژگی چوب چوگان

تساوی زیر را در نظر بگیرید.
${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+1}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+2}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+3}{3})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�+4}{4})}$

اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیرید

اگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم (رابطه بالا را تعمیم دهید)