اتحاد

اتحاد در ریاضیات (به انگلیسی: Factorization)، یک گزارۀ همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت‌های جبری در ریاضی به‌کار می‌رود. به عبارتی بهتر؛ معادله‌ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می‌شود.^[۱]

تجزیه عبارت است از شکستن یک عبارت (عدد، چندجمله‌ای یا ماتریس) به‌صورت مضربی از عبارات دیگر، به‌صورتی که حاصل‌ضرب آن‌ها عبارت اصلی را نتیجه بدهد. مثلاً عدد ۱۵ به دو عدد اول ۵ و ۳ تجزیه می‌شود و چندجمله‌ای x^۲ − ۴ به (x − ۲)(x + ۲). (برای مثال در این تجزیه از اتحاد مزدوج استفاده شده‌است) نتیجهٔ یک تجزیه همیشه حاصل‌ضربی از عبارات ساده‌تر است، و تجزیه یک چندجمله‌ای همواره یکتاست. هرچند از راه‌های مختلفی می‌توان تجزیه را انجام داد.

کاربرد اتحاد

• ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱^۲
• تجزیۀ عبارات گویا که خود در ب. م. م‌گیری و ک. م. م‌گیری کاربرد دارد.
• تجزیۀ عبارات گویا که برای حل معادلات درجۀ دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
• به‌دست آوردن جواب معادلات درجهٔ دو

انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند، اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند از این قرارند:

بسط دوجمله‌ای

مقالهٔ اصلی: بسط دوجمله‌ای

معادل هندسی بسط دوجمله‌ای، تا توان چهار. به عنوان مثال، مساحت مربعی به ضلع a+b برابر مجموع مساحت یک مربع به ضلع a، دو مستطیل به طول a و عرض b، و یک مربع به ضلع b است: ${\displaystyle (�+�{)}^2={�}^2+2��+{�}^2}$.

مربع دو جمله‌ای (اتحاد اول و اتحاد دوم)

مربع مجموع دو جمله‌ای

${\displaystyle (�+�{)}^2={�}^2+2��+{�}^2}$

مربع تفاضل دو جمله‌ای

${\displaystyle (�-�{)}^2={�}^2-2��+{�}^2}$

مکعب دو جمله ای

${\displaystyle (�+�{)}^3={�}^3+3{�}^2�+3�{�}^2+{�}^3}$

${\displaystyle (�-�{)}^3={�}^3-3{�}^2�+3�{�}^2-{�}^3}$

اتّحاد مربع سه جمله‌ای

${\displaystyle (�+�+�{)}^2={�}^2+{�}^2+{�}^2+2��+2��+2��}$

نکته: اتحاد مربع سه جمله‌ای برخلاف اتحادهای مربع دو جمله‌ای و مکعب دو جمله‌ای، برای تفریق کاربرد ندارد .

اتّحاد مزدوج:

${\displaystyle (�-�)(�+�)={�}^2-{�}^2}$

کاربرد اتحاد مزدوج در تجزیه عبارت های جبری:

اتّحاد مزدوج برای تجزیه کردن عبارت های جبری که به‌صورت دو جمله ی مربع کامل هستند،استفاده می شود.

نکته ۱:اتّحاد مزدوج برای تجزیه عبارت های جبری که به‌صورت مجموع دو جمله ی مربع کامل هستند،کاربرد ندارد.

نکته ۲:اتّحاد مزدوج برای تجزیه عبارت های جبری که ۳ جمله دارند،استفاده نمی شود.

اتحاد جمله مشترک

${\displaystyle (�+�)(�+�)={�}^2+(�+�)�+��}$

${\displaystyle (�+�)(�-�)={�}^2+(�-�)�-��}$

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (اتحاد چاق و لاغر یا فیل و فنجان)

${\displaystyle {�}^3+{�}^3=(�+�)({�}^2-��+{�}^2),}$

${\displaystyle {�}^3-{�}^3=(�-�)({�}^2+��+{�}^2).}$

اتحاد اویلر

${\displaystyle (�+�+�)({�}^2+{�}^2+{�}^2-��-��-��)={�}^3+{�}^3+{�}^3-3���}$

اتحاد لاگرانژ

${\displaystyle ({�}^2+{�}^2)({�}^2+{�}^2)=(��-��{)}^2+(��+��{)}^2}$

بسط چندجمله‌ای نیوتن

${\displaystyle (�+�{)}^{�}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{0}){�}^{�}{�}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{1}){�}^{�-1}{�}^1+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{�}){�}^0{�}^{�}}$^[۲]

عدد اول

غربال گری اراتوستن الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همهٔ اعداد اول تا عدد صحیح برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتوستن را اراتوستن، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

عدد اول (به انگلیسی: Prime Number)، عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که نتوان آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچک‌تر

قانون بخش پذیری

به نام خدا

الهم صل علی محمد و آل محمد

---

قانون بخش پذیری بر 13 :

... « این قانون شبیه بخش پذیری بر 7 است ؛ با این تفاوت که 13 جایگزین 7 می شود و به جای ِ کم کردن ِ 2 برابر رقم حذف شده ، 9 برابر رقم حذف شده را در هر مرحله کم می کنیم. »...

این قانون را برای بخش پذیری 6516 بر 13 به کار می بریم :

با عدد 6516 شروع می کنیم و رقم یکان آن ، 6 ، را حذف می کنیم و 9 برابر آن یعنی 54 را از عدد باقی مانده کم می کنیم : 507 = 54 -651. از آن جا که نمی توانیم تشخیص دهیم 507 بر 13 بخش پذیر است یا خیر ، روند را ادامه می دهیم .

رقم یکان ِ 507 ، یعنی 7 را حذف می کنیم و 9 برابر 7 را از عدد باقی مانده کم می کنیم :

50-63=-13

از آن جا که13- بر 13 بخش پذیر است ، عدد اصلی یعنی 6516 بر 13 بخش پذیر است ؛همچنین عدد 507 نیز بر 13 بخش پذیر خواهد بود .

قانون بخش پذیری بر 17 :

... « رقم یکان را حذف کنید و 5 برابر ِ رقم حذف شده را از عدد باقی مانده کم کنید ؛ تا زمانی که به عدد کوچکی که بتوانید تشخیص دهید آیا بر 17 بخش پذیر است یا خیر ، این عمل را تکرار کنید . »...

همان گونه که مشاهده می کنید ، این قانون شبیه بخش پذیری بر 7 و 13 است و نتایج مشابهی برای آن برقرار است .

امیدواریم این قوانین ، راهنمایی برای شما در جهت به دست آوردن قوانین بخش پذیری بر دیگر اعداد اول باشد .

جهت سامان دادن به بحث خود جدول زیر را در اختیار شما قرار می دهیم . در این جدول مشاهده می کنید که برای بخش پذیری بر هر عدد اول ، چه مضربی از رقم ِ حذف شده را از عدد باقی مانده باید کسر کنید :

در آزمون بخش پذیری بر عدد ِ اول ِ ...	چند برابرعدد حذف شده را کم کنیم ؟
7	2
11	1
13	9
17	5
19	17
23	16
29	26
31	3
37	11
41	4
43	30
47	14

بسیار جالب خواهد بود اگر شما بخواهید این جدول را کامل تر کنید . این کار احساس و درک شما را در ریاضیات افزایش می دهد . با آموختن قوانین بخش پذیری بر اعداد اول ، می توانیم قانون بخش پذیری بر اعداد مرکب ( عددی که اول نباشد ) را دقیق تر بیان کنیم :

قانون بخش پذیری بر اعداد مرکب :

...« عددی بر یک عدد ِ مرکب بخش پذیر است که بر تمام ِ مقسوم علیه های نسبت به هم اولش بخش پذیر باشد. »...

جدول زیر به شما در درک قانون بالاکمک می کند :

برای بخش پذیری بر...	عدد باید بر اعداد ... و ... بخش پذیر باشد
6	2 و 3
10	2 و 5
12	3 و 4
15	3 و 5
18	2 و 9
21	3 و 7
24	3 و 8
26	2 و 13
28	4 و 7

یاد آوری می کنیم که دو عدد نسبت به هم اول نامیده می شوند هر گاه بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها عدد ِ یک باشد .

قاعده ­ی بخش­پذیری بر 13 تا 100

قاعده­ بخش­پذیری بر 13 :

عددی بر13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر13 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.) مثال: 13÷689 

                                                                                                        104 = 36 + 68 = 9 × 4 + 68

چون26 بر 13 قابل قسمت است پس 689 بر 13 قابل قسمت است.                         26 = 4 × 4 + 10  

*نکته:

 اگر یک عدد 3 رقمی را دو بار کنار هم بنویسیم تا یک عدد 6 رقمی به­ دست آید؛ این عدد 6 رقمی حتماً بر اعداد 7 و 11 و 13 بخش­پذیر خواهد بود. مثال: 256  عدد256256 هم بر 7 و هم بر 11 و هم بر 13 قابل قسمت است.

125 = 13 ÷ 11 ÷ 7 ÷ 125125                125125 = 13× 11× 7× 125

قاعده­ بخش­پذیری بر 14 :               14 = 7 × 2

اعدادی که هم بر 2 و هم بر 7 بخش­پذیر باشند؛ بر 14 نیز بخش­پذیرند. یا اعداد زوجی که بر 7 بخش­پذیر باشند.

مثال:  140 ،  28 ، 560 ،           714210280003500490

قاعده­ بخش­پذیری بر 15 :               15 = 5 × 3

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 5 بخش­پذیر باشند؛ بر 15 نیز بخش­پذیرند.  مثال:  45 ، 270 ،  555 ،  97215

قاعده­ بخش­پذیری بر 16 :   

عددی بر 16 بخش­پذیر است که چهار رقم سمت راست آن صفر یا بر 16 بخش­پذیر باشد.   

مثال: 10000 ،          50000 ،       3750016 ،      96870032،        235641632    

 قاعده بخش­پذیری بر 17 :   

عددی بر17 بخش پذیر است که اگر 5 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر۷ بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

مثال: 17 × 153                 0 = 3 × 5 – 15

قاعده­ بخش­پذیری بر 18 :   

اعدادی که هم بر 2 و هم بر 9 بخش­پذیر باشند؛ بر 18 نیز بخش­پذیرند.یا اعداد زوجی که بر 9 قابل­ قسمت اند.

مثال: 36 ، 2574 ،  720000 ، 1234567890

قاعده­ بخش­پذیری بر 19 : 

عددی بر19 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر19 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.) مثال: 19÷285

                                           38 = 28 + 5 × 2 

 قاعده بخش­پذیری بر 20 : 

اعدادی که هم بر 4 و هم بر 5 بخش­پذیر باشند؛ بر 20 نیز بخش­پذیرند.

اعدادی بر 20 قابل­ قسمت هستند که یکان آن­ها صفر و رقم دهگان ­آن­ها زوج باشد. مثال: 40  ، 7380 ، 35700

قاعده ­بخش­پذیری بر 21 : 

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 7 بخش­پذیر باشند؛ بر 21 نیز بخش­پذیرند. مثال: 42 ، 84  ، 105، 214200

قاعده بخش­پذیری بر 22 :   

اعدادی که هم بر 2 و هم بر 11 بخش­پذیر باشند؛ بر 22 نیز بخش­پذیرند.یا اعداد زوجی که بر 11 قابل­قسمتند.

مثال:44 ، 66 ، 88 ،  286 ، 594 ، 110 ، 374374

قاعده بخش­پذیری بر 23 : 

عددی بر23 بخش پذیر است که اگر 7 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر23 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

مثال: 23 ÷ 138                     69 = 8 × 7 + 13

قاعده­ بخش­پذیری بر 24 :   

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 8 بخش­پذیر باشند؛ بر 24 نیز بخش­پذیرند. مثال: 48 ، 72 ، 888000 ، 3000

قاعده­ بخش­پذیری بر 25 :   

اعدادی بر 25 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها بر 25 بخش­پذیر باشد.

اعدادی بر 25 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها 00 ، 25 ، 50  و یا 75 باشد.

مثال : 300 ، 13425 ، 9852150 ، 321475

برای تعیین باقی­مانده­ی تقسیم یک عدد بر 25 بزرگ­ترین مضرب ممکن 25 را از دو رقم سمت راست عدد کم می­کنیم.

مثال : 25 ÷ 473283     چون 8 = 75 – 83  پس تقسیم مربوطه 8 تا باقی­مانده دارد.

قاعده بخش­پذیری بر 50 :   

اعدادی بر 50 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها بر 50 بخش­پذیر باشد.

اعدادی بر 25 بخش­پذیرند که دو رقم سمت راست آن­ها  00  و یا 50 باشد.

مثال : 300 ،  123450 ، 7900000

 اگر دو رقم سمت راست عددی کم­تر از 50 بود آن دو رقم همان باقی­مانده ­ی تقسیم می­باشد.

اگر دو رقم سمت راست عددی بزرگ­تر از 50 بود؛ 50 را از آن کم می کنیم.

مثال: در تقسیم 50 ÷ 12342 باقیمانده 42 می­باشد. در تقسیم 584290 باقی­مانده ­ی تقسیم 50-90 یعنی 40 می­باشد.

قاعده­ بخش­پذیری بر 75 :   

اعدادی که هم بر 3 و هم بر 25 بخش­پذیر باشند؛ بر 75 نیز بخش­پذیرند. مثال:  150 ، 225 ، 75000

قاعده­ بخش­پذیری بر 99 :   

اعدادی که هم بر 9 و هم بر 11 بخش­پذیر باشند؛ بر 99 نیز بخش­پذیرند. مثال : 495 ، 3960 ، 369369

قاعده بخش­پذیری بر 100 :   

اعدادی که هم بر 4 و هم بر 25 بخش­پذیر باشند؛ بر 100 نیز بخش­پذیرند. یا اعدادی که دو رقم سمت راست آن­ها صفر باشد. مثال: 700 ، 12340000

دو رقم سمت راست هر عدد باقی­مانده­ ی آن عدد بر 100 خواهد بود. مثال: باقی­مانده­ ی 100÷ 234578 عدد 78 می­باشد.

نکته: با استفاده از قاعده­ بخش­پذیری بر 10 و 100 می­توان به قاعده­ ی بخش­پذیری بر 1000 ، 100000 ، دست یافت.

نکته : اگر در تقسیمی مقسوم بر مقسوم­ علیه بخش­پذیر باشد؛ مقسوم بر تمامی مقسوم­ علی­های این مقسوم علیه نیز بخش­پذیر است. مثلاً 100 بر 50 ، 25 ، 20 ، 10 ، 5 ، 4 و 2 قابل­ قسمت است و چون 200 بر 100 بخش­پذیر است؛

 پس 200 بر50 ، 25 ، 20 ، 10 ، 5 ، 4 و 2 نیز قابل­ قسمت است.

قوانین بخش پذیری بر اعداد اول

قانون بخش پذیری بر 13 :

«... این قانون شبیه بخش پذیری بر 7 است ؛ با این تفاوت که 13 جایگزین 7 می شود و به جای ِ کم کردن ِ 2 برابر رقم حذف شده ، 9 برابر رقم حذف شده را در هر مرحله کم می کنیم. ...»

این قانون را برای بخش پذیری 6516 بر 13 به کار می بریم :

با عدد 6516 شروع می کنیم و رقم یکان آن ، 6 ، را حذف می کنیم و 9 برابر آن یعنی 54 را از عدد باقی مانده کم می کنیم : 507=54-651. از آن جا که نمی توانیم تشخیص دهیم 507 بر 13 بخش پذیر است یا خیر ، روند را ادامه می دهیم .

رقم یکان ِ 507 ، یعنی 7 را حذف می کنیم و 9 برابر 7 را از عدد باقی مانده کم می کنیم :

13- = 63 - 50

از آن جا که 13- بر 13 بخش پذیر است ، عدد اصلی یعنی 6516 بر 13 بخش پذیر است ؛همچنین عدد 507 نیز بر 13 بخش پذیر خواهد بود .

اکنون نشان می دهیم مضرب ِ 9 از کجا می آید . برای این منظور ، کوچکترین مضرب ِ 9 که رقم یکان ( رقم پایانی ) آن 1 است را جستجو می کنیم . این عدد 91 است که رقم دهگان ِ آن ، 9 برابر ِ رقم یکان آن است. در جدول زیر ، رقم های پایانی ِ ممکن ِ مختلف و تفاضل متناظرشان را ملاحظه می کنید :

رقم پایانی ( یکان )	عدد کم شده از عدد اصلی
1
2
3
4
5
6
7
8
9

در هر مورد ، مضربی از 13 یک بار یا بیشتر از عدد اصلی کم شده است . بنابر این اگر عددی که باقی می ماند بر 13 بخش پذیر باشد ، آنگاه عدد اصلی نیز بر 13 بخش پذیر است .

قانون بخش پذیری بر 17 :

 «...رقم یکان را حذف کنید و 5 برابر ِ رقم حذف شده را از عدد باقی مانده کم کنید ؛ تا زمانی که به عدد کوچکی که بتوانید تشخیص دهید آیا بر 17 بخش پذیر است یا خیر ، این عمل را تکرار کنید .... »

همان گونه که مشاهده می کنید ، این قانون شبیه بخش پذیری بر 7 و 13 است و نتایج مشابهی برای آن برقرار است .

امیدواریم این قوانین ، راهنمایی برای شما در جهت به دست آوردن قوانین بخش پذیری بر دیگر اعداد اول باشد .

جهت سامان دادن به بحث خود جدول زیر را در اختیار شما قرار می دهیم . در این جدول مشاهده می کنید که برای بخش پذیری بر هر عدد اول ، چه مضربی از رقم ِ حذف شده را از عدد باقی مانده باید کسر کنید :

در آزمون بخش پذیری بر عدد ِ اول ِ ...	چند برابر عدد حذف شده را کم کنیم؟
7	2
11	1
13	9
17	5
19	17
23	16
29	26
31	3
37	11
41	4
43	30
47	14

بسیار جالب خواهد بود اگر شما بخواهید این جدول را کامل تر کنید . این کار احساس و درک شما را در ریاضیات افزایش می دهد .