میتوان ویژگیهای زیر را برای لوزی برشمرد:
Name | Sides | Properties |
---|---|---|
monogon | 1 | Not generally recognised as a polygon,[18] although some disciplines such as graph theory sometimes use the term.[19] |
digon | 2 | Not generally recognised as a polygon in the Euclidean plane, although it can exist as a spherical polygon.[20] |
triangle (or trigon) | 3 | The simplest polygon which can exist in the Euclidean plane. Can tile the plane. |
quadrilateral (or tetragon) | 4 | The simplest polygon which can cross itself; the simplest polygon which can be concave; the simplest polygon which can be non-cyclic. Can tile the plane. |
pentagon | 5 | [21] The simplest polygon which can exist as a regular star. A star pentagon is known as a pentagram or pentacle. |
hexagon | 6 | [21] Can tile the plane. |
heptagon (or septagon) | 7 | [21] The simplest polygon such that the regular form is not constructible with compass and straightedge. However, it can be constructed using a neusis construction. |
octagon | 8 | [21] |
nonagon (or enneagon) | 9 | [21]"Nonagon" mixes Latin [novem = 9] with Greek; "enneagon" is pure Greek. |
decagon | 10 | [21] |
hendecagon (or undecagon) | 11 | [21] The simplest polygon such that the regular form cannot be constructed with compass, straightedge, and angle trisector. However, it can be constructed with neusis.[22] |
dodecagon (or duodecagon) | 12 | [21] |
tridecagon (or triskaidecagon) | 13 | [21] |
tetradecagon (or tetrakaidecagon) | 14 | [21] |
pentadecagon (or pentakaidecagon) | 15 | [21] |
hexadecagon (or hexakaidecagon) | 16 | [21] |
heptadecagon (or heptakaidecagon) | 17 | Constructible polygon[17] |
octadecagon (or octakaidecagon) | 18 | [21] |
enneadecagon (or enneakaidecagon) | 19 | [21] |
icosagon | 20 | [21] |
icositrigon (or icosikaitrigon) | 23 | The simplest polygon such that the regular form cannot be constructed with neusis.[23][22] |
icositetragon (or icosikaitetragon) | 24 | [21] |
icosipentagon (or icosikaipentagon) | 25 | The simplest polygon such that it is not known if the regular form can be constructed with neusis or not.[23][22] |
triacontagon | 30 | [21] |
tetracontagon (or tessaracontagon) | 40 | [21][24] |
pentacontagon (or pentecontagon) | 50 | [21][24] |
hexacontagon (or hexecontagon) | 60 | [21][24] |
heptacontagon (or hebdomecontagon) | 70 | [21][24] |
octacontagon (or ogdoëcontagon) | 80 | [21][24] |
enneacontagon (or enenecontagon) | 90 | [21][24] |
hectogon (or hecatontagon)[25] | 100 | [21] |
257-gon | 257 | Constructible polygon[17] |
chiliagon | 1000 | Philosophers including René Descartes,[26] Immanuel Kant,[27] David Hume,[28] have used the chiliagon as an example in discussions. |
myriagon | 10,000 | Used as an example in some philosophical discussions, for example in Descartes's Meditations on First Philosophy |
65537-gon | 65,537 | Constructible polygon[17] |
megagon[29][30][31] | 1,000,000 | As with René Descartes's example of the chiliagon, the million-sided polygon has been used as an illustration of a well-defined concept that cannot be visualised.[32][33][34][35][36][37][38] The megagon is also used as an illustration of the convergence of regular polygons to a circle.[39] |
apeirogon | ∞ | A degenerate polygon of infinitely many sides. |
مجموعه n-ضلعیهای منتظم کوژ | |
---|---|
ضلع و رأس | n |
نماد | {n} |
گروه تقارن | Dn, order 2n |
چندضلعی همزاد | خود همزاد |
مساحت (با a=طول ضلع) | |
زاویه داخلی | |
مجموع زوایای داخلی | |
ویژگیها | کوژ، سیکلیک، متساویالاضلاع، Isogonal، Isotoxal |
در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هماندازهاند.
چندضلعیهای منتظم، میتوانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعیهای منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل میشود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل میشود.
ویژگیهای بیانشده در ادامه، برای همهٔ چندضلعیهای منتظم (اعم از کوژ و ستارهای) برقرار است.
یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.
همهٔ رأسهای یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار میگیرند. بهعبارت دیگر، رأسها نقاطی همدایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایرهای هم هست.
هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.
یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خطکش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.
چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همهی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.
همهٔ چندضلعیهای سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعیهای منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n-ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده میشود.
مثلث متساویالاضلاع {۳} | مربع {۴} | پنجضلعی {۵} | ششضلعی {۶} | هفتضلعی {۷} | هشتضلعی {۸} | نهضلعی {۹} | دهضلعی {۱۰} | |
یازدهضلعی {۱۱} | دوازدهضلعی {۱۲} | سیزدهضلعی {۱۳} | چهاردهضلعی {۱۴} | پانزدهضلعی {۱۵} | شانزدهضلعی {۱۶} | هفدهضلعی {۱۷} | هجدهضلعی {۱۸} | نوزدهضلعی {۱۹} |
بیستضلعی {۲۰} | سیضلعی {۳۰} | چهلضلعی {۴۰} | پنجاهضلعی {۵۰} | شصتضلعی {۶۰} | هفتادضلعی {۷۰} | هشتادضلعی {۸۰} | نودضلعی {۹۰} | صدضلعی {۱۰۰} |
برای یک n-ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:
یا رادیان
و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با درجه.
برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با ، بهعنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنجضلعی و ششضلعی، تعداد قطرها بهترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.
برای یک n-ضلعی منتظم محاطشده در یک دایره به شعاع واحد، حاصلضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأسهای دیگر، برابر است با n.
مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست میآید:[۱][۲]
(زوایا برحسب رادیان است.)
که در آن R برابر است با:
از دوران یک نیم خط یک ناحیهای به وجود میآید که به آن زاویه میگویند. این دوران میتوان در جهت عقربههای ساعت یا در جهت خلاف آن باشد ولی در مثلثات جهت دوران برای ایجاد یک زاویه جهت پادساعتگرد است و چنین زاویهای را زاویه مثلثاتی میگویند. اگر نیم خطی را حول راسش چنان دوران دهیم که دوباره به نقطه شروع دوران بازگردد یک زاویه کامل یا تمام صفحه به وجود میآید. پس یک دایره خود یک زاویه کامل (دوران کامل) است یعنی ۳۶۰ درجه. همچنین اگر نیم خط را چنان دوران دهیم که یک مسیر یک نیم دایره به مرکز راستش راطی کند یک زاویه نیم صفحه به وجود میآید. زاویه را با نام بردن راس یا نام بردن راس و دو ضلعش میخوانند.
واحدهای اصلی برای اندازهگیری زاویه عبارتند از: درجه، گراد و رادیان که در اینجا به تعریف و توضیح آنها میپردازیم:
اگر محیط یک دایره دلخواه را به ۳۶۰ قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک درجه مینامند. به عبارت دیگر یک درجه یک سیصد و شستم محیط یک دایره است. تصویر
برای نمایش درجه از علامت استفاده میشود. لذا میتوان گفت:
پس به این ترتیب در این مقیاس، زاویه تمام صفحه که یک دور کامل است برابر ۳۶۰ درجه و زاویه نیم صفحه برابر ۱۸۰ درجه است.
اجزای درجه: همان گونه که میدانید معمولاً هر واحد دارای اجزایی میباشد. درجه نیز به عنوان یک واحد اندازهگیری دارای اجزایی میباشد که عبارتند از دقیقه و ثانیه.(این اجزا گاهی آرک دقیقه:Arc minute و آرک ثانیه:Arc second نیز گفته میشوند) هر دقیقه برابر است با یک شصتم درجه.
هر ثانیه برابر یک شصتم دقیقه یا یک سه هزار و شسصدم درجه.
به عنوان مثال اگر اندازه زاویهای ۳۷ درجه و ۳۰ دقیقه و ۱۵ ثانیه باشد مینویسیم:
اگر محیط یک دایره را به ۴۰۰ قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک گراد میگویند. به عبارت دیگر یک چهارصدم دوران کامل، زاویهای به اندازه یک گراد پدیدمیآورد. گراد گاهی گون نیز گفته میشود. برای نمایش گراد از نماد «gr» استفاده میشود. لذا میتوان گفت:
پس به این ترتیب در این مقیاس اندازه زاویه تمام صفحه یا یک دور کامل ۴۰۰ گراد و اندازه زاویه نیم صفحه برابر ۲۰۰ گراد خواهد بود.
اجزای گراد: اجزای گراد عبارتند از دسی گراد(dgr)، سانتی گراد(cgr)، میلی گراد(mgr) که هر کدام به ترتیب یک دهم گراد، یک صدم گراد و یک هزارم گراد میباشند.
به عنوان مثال اگر اندازه زاویهای ۳۷ گراد و ۲ دسی گراد و ۸ میلی گرا باشد مینویسیم: استفاده از این واحد برای زاویه در ریاضیات بسیار کم است.
دایرهای به شعاع L را در نظر بگیرید. میدانیم محیط این دایره است. یک رادیان اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول کمان روبرو به آن برابر شعاع دایره است. تصویر
برای نمایش رادیان از نماد«rad» استفاده میکنیم. بنابراین محیط هر دایره برحسب رادیان رادیان است و زاویه نیم صفحه برابر رادیان است. و لذا: که در آن P محیط دایره است. با استفاده از تعریف رادیان میتوان نتیجه گرفت که اگر طول کمان روبرو به زاویه برابر s و شعاع دایره r باشد آنگاه اندازه زاویه تتا بر حسب رادیان را میتوان با یک تناسب ساده چنین محاسبه کرد:
تصویر
به عنوان مثال میخواهیم بدانیم اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره که طول آن کمان محیط دایره است چند رادیان است؟ روش حل بدون استفاده از فرمول (اساس یافتن فرمول فوق) به این صورت است: r=طول شعاع اگر طول کمان برابر باشد آنگاه اندازه زاویه برابر است با رادیان حال اگر طول کمان برابر باشد اندازه زاویه چقدر میشود؟
تبدیل واحدهای اندازهگیری زاویه به یکدیگر: دایرهای به شعاع r و زاویه را در دایره در نظر بگیرید: تصویر
فرض کنید اندازه زاویه برحسب درجه D، برحسب گراد G و برحسب رادیان R باشد. با استفاده از تناسب داریم: ۱- طول کمان اندازه زاویه برحسب درجه
۲- طول کمان اندازه کمان برحسب گراد
۳--__ طول کمان اندازه زاویه برحسب رادیان
از تساویهای فوق رابطه زیر نتیجه میشود:
به عنوان مثال اگر اندازه زاویهای برابر ۲۰ گراد باشد اندازه این زاویه بر حسب درجه و رادیان به این صورت محاسبه میشود: