انواع زاویه‌ها

 زاویه‌ها را با توجه به مقدارشان به این صورت طبقه‌بندی می‌کنند:

• زاویه تند:(acute angle) زاویه را تند یا حاده می‌گوییم هرگاه اندازه اش کمتر از ۹۰ در جه باشد. 

• زاویه راست:(right angle) زاویه را راست یا قائم می‌گوییم هرگاه اندازه آن برابر ۹۰ در جه باشد. 

• زاویه باز:(obtuse angle) زاویه را باز یا منفرجه می‌گوییم هرگاه بزرگتر از ۹۰ درجه و کمتر از ۱۸۰ درجه باشد. 

• زاویه نیم صفحه:(straight angle) زاویه را نیم صفحه می‌گوییم هرگاه برابر ۱۸۰ درجه باشد. 

• زاویه بازتاب:(reflex angle) زاویه را زاویه بازتاب می‌گوییم هرگاه بزرگتر از ۱۸۰ درجه و کمتر از ۳۶۰ درجه باشد. 

• زاویه کامل:(full angle) زاویه را کامل یا تمام صفحه می‌گوییم هرگاه برابر ۳۶۰ درجه باشد. 

روش‌های رسم یک پنج‌ضلعی منتظم

روش ریچموند

یکی از روش‌های رسم یک پنج‌ضلعی منتظم در این پویانمایی توضیح داده شده‌است.

روش ریچموند

روش کارلایل

رسم پنج ضلعی منتظم با پرگار و خط کش به صورت پویانمایی زیر است.

روش کارلایل

نسبت طلایی

توصیف عدد طلایی برحسب پاره‌خط‌ها، نسبت a+b به a برابر با نسبت a به b است.

مستطیل طلایی با طول a و عرض b در مجاورت مربعی با اضلاع a است که هردو با هم تشکیل مستطیل بزرگتر را داده که مشابه مستطیل قرمز کوچکتر است. مستطیل بزرگ دارای طول a+b و عرض a است. این نسبت‌ها را بدین صورت نیز می‌توان بیان نمود: ${\displaystyle \frac{�+�}{�}=\frac{�}{�}\equiv �}$.

در ریاضیات، دو کمیت دارای نسبت طلایی (به انگلیسی: Golden Ratio) اند اگر نسبت آن‌ها برابر با نسبت جمع‌شان به کمیت بزرگ‌تر باشد. می‌توان این خاصیت را برای زمانی که ${\displaystyle �>�>0}$ باشد، به‌صورت جبری زیر بیان نمود:

${\displaystyle \frac{�+�}{�}=\frac{�}{�}\stackrel{\text{def}}{=}�}$

که در آن حرف فی یونانی (${\displaystyle �}$ یا ${\displaystyle �}$)، نمایانگر نسبت طلایی است.^[۱][الف] این نسبت عدد گنگی است که جوابی برای معادله مربعی ${\displaystyle {�}^2-�-1=0}$ نیز می‌باشد، جواب مورد نظر معادله مذکور بدین صورت است:

${\displaystyle �=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618033\dots }$^[۲][۳]

نسبت طلایی را میانگین طلایی (Golden Mean) یا مقطع طلایی (Golden Section) (از لاتین: sectio aurea) نیز می‌نامند.^[۴][۵] نام‌های دیگری شامل این موارد نیز استفاده می‌گردند: نسبت غایی و میانگین (Extreme and Mean Ratio),^[۶] مقطع میانی (Medial Section)، نسبت الهی (Divine Section) (لاتین: sectio divina)، تناسب طلایی (Golden Proportion)، برش طلایی (Golden Cut),^[۷] و عدد طلایی (Golden Number).^{[۸][۹][۱۰]}

ریاضی‌دانان از زمان اقلیدس به مطالعه خواص نسبت طلایی پرداخته‌اند، خواصی چون ظاهر آن در ابعاد یک پنج‌ضلعی و در مثلث طلایی که می‌توان آن را به یک مربع و مستطیل کوچک‌تری با همان نسبت ابعادی برش داد. نسبت طلایی در تحلیل تناسب اشیاء طبیعی و همچنین سامانه‌های مصنوعی ساخت انسان چون بازارهای مالی، و در برخی موارد برازش با داده‌های مشکوک نیز به کار گرفته شده‌است.^[۱۱] نسبت طلایی در برخی از الگوهای طبیعی شامل آرایش مارپیچ‌گونهٔ برگ‌ها و سایر اجزای گیاهان نیز پدیدار می‌گردد.

برخی از هنرمندان و معماران قرن بیستم شامل لو کوربوزیه و سالوادور دالی، آثارشان را در تناسب تقریبی با نسبت طلایی قرار داده و معتقدند که این مسئله موجب بالارفتن جنبه زیباشناختی آثارشان می‌گردد. این‌گونه کاربردها اغلب به فرم مستطیل طلایی ظاهر شده که در آن نسبت طول بزرگتر به کوچک‌تر برابر با نسبت طلایی است.

محاسبه

فهرست اعداد – اعداد گنگ ${\displaystyle �}$ – ${\displaystyle �(3)}$ – ${\displaystyle \sqrt{2}}$ – ${\displaystyle \sqrt{3}}$ – ${\displaystyle \sqrt{5}}$ – ${\displaystyle �}$ – ${\displaystyle �}$ – ${\displaystyle ��}$ – ${\displaystyle �}$ – ${\displaystyle �}$ – ${\displaystyle �}$
دودویی	۱٫۱۰۰۱۱۱۱۰۰۰۱۱۰۱۱۱۰۱۱۱...
ده‌دهی	۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۴...[۳]
مبنای ۱۶	۱٫۹E۳۷۷۹B۹۷F۴A۷C۱۵...
کسر مسلسل	${\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}$
فرم جبری	${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

حرف یونانی فی، نماد نسبت طلایی. اغلب حرف کوچک (φ یا ${\displaystyle �}$) استفاده می‌شود، برخی مواقع از حرف بزرگ (${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$) نیز جهت نمایش معکوس نسبت طلایی ${\displaystyle \frac{1}{�}}$ استفاده می‌کنند.^[۱۲]

دو کمیت a و b را نسبت طلایی ${\displaystyle �}$ نامند اگر:

${\displaystyle \frac{�+�}{�}=\frac{�}{�}=�.}$^[۱]

یک روش جهت یافتن مقدار ${\displaystyle �}$، این است که از کسر سمت چپ شروع کرده و با ساده سازی و جایگزینی ${\displaystyle \frac{�}{�}=\frac{1}{�}}$ به عبارت زیر برسیم:

${\displaystyle \frac{�+�}{�}=\frac{�}{�}+\frac{�}{�}=1+\frac{�}{�}=1+\frac{1}{�}.}$

ازین رو خواهیم داشت:

${\displaystyle 1+\frac{1}{�}=�.}$

که با ضرب ${\displaystyle �}$ معادله زیر را می‌دهد:

${\displaystyle �+1={�}^2}$

که با بازآرایی تبدیل به این عبارت می‌گردد:

${\displaystyle {�}^2-�-1=0.}$

با استفاده از فرمول مربعی، دو جواب به‌دست می‌آیند:

${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618033\dots }$ and ${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.618033\dots .}$

چون ${\displaystyle �}$ نسبتی بین دو کمیت مثبت است، پس کمیتی مثبت می‌باشد:

${\displaystyle �=1.61803,39887,49894,84820,45868,34365,63811,7\cdots }$

کسر مسلسل

${\displaystyle {�}_0+\frac{1}{{�}_1+\frac{1}{{�}_2+\frac{1}{\ddots +\frac{1}{{�}_{�}}}}}}$

نمایشی از یک کسر مسلسل متناهی که در آن ${\displaystyle �}$ عدد صحیح مثبت، ${\displaystyle {�}_0}$ عددی صحیح و ${\displaystyle {�}_{�}}$ برای ${\displaystyle �=1,\dots ,�}$، عدد صحیح مثبتی می باشند.

در ریاضیات، کسر مسلسل (به انگلیسی: Continued Fraction)، عبارتی است که در فرایندی تکراری بدست می آید و نمایشی از یک عدد به صورت جمع جزء صحیح آن عدد و وارون عددی دیگر است، به گونه ای که آن عدد دیگر خود به صورت جمعی از یک عدد صحیح و معکوس عددی دیگر است و ... این فرآیند به همین ترتیب ممکن است تا بی نهایت ادامه یابد.^[۱] در کسر مسلسل متناهی، تکرار/بازگشت بعد از تعداد مراحل متناهی متوقف می شود (برعکس کسر مسلسل نامتناهی). در نتیجه کسر مسلسل نامتناهی، اصطلاحاً "عبارتی نامتناهی" است. در هر صورت، تمام اعداد صحیح درون دنباله اعداد بکار رفته در عبارت کسر مسلسل، به غیر از اولین عدد، باید مثبت باشند. اعداد صحیح ${\displaystyle {�}_{�}}$ را ضرایب یا جملات کسر مسلسل گویند.^[۲]

کسرهای مسلسل خواص قابل توجهی در ارتباط با الگوریتم اقلیدسی اعداد حقیقی دارند. از روی هر عدد گویا چون ${\displaystyle \frac{�}{�}}$، دو عبارت مرتبط با کسرهای مسلسل بدست می آید. این دو عبارت ضرایبی چون ${\displaystyle {�}_{�}}$ دارند که با اعمال الگوریتم اقلیدسی بر روی ${\displaystyle (�,�)}$ تعیین می گردند. مقدار عددی کسر مسلسل نامتناهی همیشه عددی گنگ است؛ این مقدار عددی به صورت حد دنباله اعداد صحیح حاصل از مقادیر بدست آمده از کسرهای مسلسل متناهی آن، تعریف می گردد. هر کدام از این کسرهای مسلسل متناهی (که از روی کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر بدست می آیند)، با استفاده از پیشوندهای متناهی از کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر تعریف می شوند. به علاوه، هر عدد گنگ چون ${\displaystyle �}$، برابر با یک کسر مسلسل نامتناهی منحصر به فردی است که ضرایبش را می توان با استفاده از اعمال نسخه پایان-ناپذیری از الگوریتم اقلیدسی بر روی مقادیر مقایسه ناپذیر (یعنی هیچ یک ضریب گویایی از دیگری نیست) ${\displaystyle �}$ و 1 بدست آورد. بیان اعداد حقیقی (چه گویا و چه گنگ) با این روش را نمایش کسر مسلسل می نامند.

عموماً، صورت تمام کسرهای به کار رفته در کسر مسلسل 1 فرض می شوند. اگر مقادیر و/یا توابع دلخواهی در صورت و مخرج یک یا چندتا از کسرها به کار گرفته شود، کسر مسلسل حاصر را، کسر مسلسل تعمیم یافته خواهند نامید. هرگاه نیاز باشد تا بین این دو نوع کسر مسلسل تمایز ایجاد شود، به کسر مسلسل اول، کسر مسلسل ساده، منظم یا کانونی گفته می شود.

ممکن است اصطلاح کسر مسلسل در نمایش‌های توابع گویا که در نظریه تحلیلی شان ظهور پیدا می کنند نیز مورد استفاده قرار گیرد. برای این اصطلاح به مقاله تقریب پد و توابع گویای چبیشف رجوع کنید.

انگیزش و نمادگذاری

به عنوان مثال، عدد گویای 415/93 را که تقریباً برابر ۴٫۴۶۲۴ است را در نظر بگیرید. به عنوان قدم اول در تقریب زدن این کسر، با جزء صحیح این عدد که ۴ است شروع می‌کنیم؛ 415/93 = 4 + 43/93. جزء کسری آن، وارون 93/43 است که حدود ۲٫۱۶۲۸ می‌باشد. با استفاده از جزء صحیح آن که ۲ است، تقریب دوم بدست آمده که تا بدین جای کار، کسل مسلسل ما بدین شکل در می‌آید: 4 + 1/2 اکنون برای بدست آوردن ادامه کسر مسلسل عدد مذکور، دوباره کسر باقیمانده یعنی 7/43 را معکوس کرده 43/7 که حدوداً برابر ۶٫۱۴۲۹ می‌شود. از ۶ به عنوان تخمین سوم استفاده کرده و تا بدین جا کسر مسلسل ما به صورت ${\displaystyle 4+\frac{1}{2+\frac{1}{6}}}$ در می‌آید. در نهایت از آنجا که در مرحله قبل به 43/7 = 6 + 1/7 رسیدیم، معکوس بخش اعشاری آن ۷ بوده، از آنجا که ۷ عدد صحیح و روندی است در این مرحله ساخت کسر مسلسل برای عدد مورد نظر خاتمه یافته و کسر مسلسل ${\displaystyle 4+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{7}}}}$ برای 415/93 بدست می‌آید.

عبارت ${\displaystyle 4+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{7}}}}$ را نمایش کسر مسلسل 415/93 می‌نامند. این نمایش را می‌توان به صورت ${\displaystyle \frac{415}{93}=[4;2,6,7]}$ به صورت مختصر نمایش داد (عادت بر این است که تنها اولین کاما به صورت سمیکولون ";" نوشته شود). در برخی از کتب درسی قدیمی، در نمایش تاپل (n+1) تایی مذکور از سمیکولون استفاده نکرده و تمامشان را به صورت کاما نمایش می‌دهند: ${\displaystyle [4,2,6,7]}$.^[۳][۴]

مراجع

1. ↑ "Continued fraction – mathematics".
2. ↑ (Pettofrezzo و Byrkit 1970، ص. 150)
3. ↑ (Long 1972، ص. 173)
4. ↑ (Pettofrezzo و Byrkit 1970، ص. 152)

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Continued Fraction». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

اشتراک

اشتراک

اشتراک دو مجموعه ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ که توسط دایره نشان داده شده اند، و ${\displaystyle �\cap �}$ قسمت قرمز رنگ است.
گونه	عمل مجموعه
گرایش	نظریه مجموعه‌ها
گزاره	اشتراک برابر مجموعه عناصری است که هم در مجموعه ${\displaystyle �}$ و هم در مجموعه ${\displaystyle �}$ موجوداند.
بیان نمادین	${\displaystyle �\cap �=\{�:�\in �\text{ and }�\in �\}}$

اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها می‌نامیم و آن را با نماد ∩ نشان می‌دهیم مثل : A∩B

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و ${\displaystyle �\in �}$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با ${\displaystyle \bigcap �}$ یا ${\displaystyle \bigcap _{�\in �}�}$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \bigcap �:=\bigcap _{�\in �}�:=\{�\in �:\mathrm{\forall }�\in �,�\in �\}}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود ${\displaystyle \bigcap �:=�}$.

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با ${\displaystyle �\cap �}$ نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با ${\displaystyle �\cap �\cap �}$،... و اشتراک n مجموعه ${\displaystyle {�}_1,{�}_2,\cdots ,{�}_{�}}$ را با ${\displaystyle {�}_1\cap {�}_2\cap \cdots \cap {�}_{�}}$ نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

${\displaystyle {�}_1\cap {�}_2\cap \cdots {�}_{�}=({�}_1\cap {�}_2\cap \cdots {�}_{�-1})\cap {�}_{�}}$

خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با ${\displaystyle �\cup �}$ نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

${\displaystyle �\cap �=�}$

${\displaystyle �\cap �=�\cap �}$

${\displaystyle �\cap �=�\cap �=�}$

${\displaystyle (�\cap �)\cap �=�\cap (�\cap �)}$

${\displaystyle �\cap (�\cup �)=(�\cap �)\cup (�\cap �)}$

${\displaystyle �\cup (�\cap �)=(�\cup �)\cap (�\cup �)}$

${\displaystyle �\subseteq �}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle �\cap �=�}$