ذوزنقه سه گونه است

شکل زیر یک ذوزنقه را نشان می‌دهد و همان‌طور که می‌بینیم، فقط دو ضلع آن موازی هستند. روی این ذوزنقه، قاعده، ساق، قطر و ارتفاع مشخص شده‌اند. در ادامه، این اصطلاحات را معرفی می‌کنیم.

• قاعده: دو ضلعی از ذوزنقه که موازی هم هستند، قاعده (پایه) نام دارند.
• ساق: غیر از دو قاعده، ذوزنقه دو ضلع دیگر نیز دارد که موازی نیستند و به آن‌ها ساق می‌گوییم.
• ارتفاع: به کوتاه‌ترین فاصله بین دو قاعده هر ذوزنقه ارتفاع‌ می‌گوییم. ارتفاع ذوزنقه بر هر دو قاعده آن عمود است.
• قطر: قطر ذوزنقه پاره‌خطی است که دو رأس زوایای مقابل را به هم وصل می‌کند. هر ذوزنقه دو قطر دارد.

ذوزنقه‌ها را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد: ذوزنقه‌ متساوی الساقین، ذوزنقه‌ قائم الزاویه و ذوزنقه‌ مختلف الاضلاع. 

۱. ذوزنقه قائم‌الزاویه 

۲. ذوزنقه متساوی‌الساقین

ذوزنقه متساوی‌الساقین به ذوزنقه‌ای گفته می‌شود که ساق‌های آن هم‌اندازه باشند. می‌توان نشان داد که یک ذوزنقه متساوی‌الساقین است اگر و تنها اگر: دو پایهٔ آن هم‌نهشت باشند. زاویه‌های بالایی (و پایینی) پایه‌ها با هم هم‌نهشت باشند.

۳. ذوزنقه مختلف‌الاضلاع 

---------------

ذوزنقه متساوی‌الساقین

ذوزنقه متساوی‌الساقین
یک ذوزنقه متساوی‌الساقین و محور تقارن آن
نوع	چهارضلعی، ذوزنقه
اضلاع و رئوس	۴
گروه تقارن	Dih2، [ ]، (*)، مرتبه ۲
چندضلعی دوگان	بادبادک
خواص	کوژ، دایره محیطی

ذوزنقه متساوی‌الساقین به ذوزنقه‌ای گفته می‌شود که ساق‌های آن هم‌اندازه باشند. می‌توان نشان داد که یک ذوزنقه متساوی‌الساقین است اگر و تنها اگر:

• دو پایهٔ آن هم‌نهشت باشند.
• زاویه‌های بالایی (و پایینی) پایه‌ها با هم هم‌نهشت باشند.
• قطرهای ذوزنقه هم‌نهشت باشند.

وجود هر یک از این شرط‌ها در یک ذوزنقه متضمن دیگری است.^[۱]

ذوزنقه‌های متساوی‌الساقین چهارضلعی محاطی هستند.^[۲]

زاویه های رو به رو با هم برابر هستند.

زاویه های بالا و پایین مکمل یکدیگرند.

مربع

یک چهارضلعی محدب یک مربع است اگر و تنها اگر یکی از شرط‌های زیر را داشته باشد:^[۲][۳]

• یک راست‌گوشه با دو ضلع مجاور برابر.
• یک چهارضلعی با چهار لبهٔ برابر (ضلع برابر) و چهار زاویهٔ راست.
• یک متوازی‌الأضلاع با یک زاویهٔ راست و دو ضلع مجاور برابر.
• یک لوزی با یک زاویهٔ راست.
• یک لوزی با چهار زاویهٔ برابر.
• یک چهارضلعی که قطرهای آن با هم برابرند و بر یکدیگر عمودند و همدیگر را به دو نیم تقسیم می‌کنند (عمودمنصفند) مانند یک لوزی با قطرهای برابر.
• یک مستطیل که طول چهار ضلع آن با هم برابر است.

ویژگی‌های لوزی

می‌توان ویژگی‌های زیر را برای لوزی برشمرد:

• در لوزی قطرها هم برهم عمود هستند و هم یکدیگر را نصف می‌کنند پس عمود منصف یکدیگر هستند.
• در لوزی قطرها نیمسازهای زوایای لوزی هستند.
• مجموع زوایای داخلی ۳۶۰ درجه است و دارای دو محور تقارن است. در لوزی زوایای مجاور مکمل و زوایای روبه روی هم با هم برابر اند.
• در لوزی زاویه‌های روبرو برابر هستند.
• چهار خط تقارن دارد.
• همچنین لوزی نیز یک متواضی الاضلاع است

Polygon names and miscellaneous properties

Polygon names and miscellaneous properties

Name	Sides	Properties
monogon	1	Not generally recognised as a polygon,[18] although some disciplines such as graph theory sometimes use the term.[19]
digon	2	Not generally recognised as a polygon in the Euclidean plane, although it can exist as a spherical polygon.[20]
triangle (or trigon)	3	The simplest polygon which can exist in the Euclidean plane. Can tile the plane.
quadrilateral (or tetragon)	4	The simplest polygon which can cross itself; the simplest polygon which can be concave; the simplest polygon which can be non-cyclic. Can tile the plane.
pentagon	5	[21] The simplest polygon which can exist as a regular star. A star pentagon is known as a pentagram or pentacle.
hexagon	6	[21] Can tile the plane.
heptagon (or septagon)	7	[21] The simplest polygon such that the regular form is not constructible with compass and straightedge. However, it can be constructed using a neusis construction.
octagon	8	[21]
nonagon (or enneagon)	9	[21]"Nonagon" mixes Latin [novem = 9] with Greek; "enneagon" is pure Greek.
decagon	10	[21]
hendecagon (or undecagon)	11	[21] The simplest polygon such that the regular form cannot be constructed with compass, straightedge, and angle trisector. However, it can be constructed with neusis.[22]
dodecagon (or duodecagon)	12	[21]
tridecagon (or triskaidecagon)	13	[21]
tetradecagon (or tetrakaidecagon)	14	[21]
pentadecagon (or pentakaidecagon)	15	[21]
hexadecagon (or hexakaidecagon)	16	[21]
heptadecagon (or heptakaidecagon)	17	Constructible polygon[17]
octadecagon (or octakaidecagon)	18	[21]
enneadecagon (or enneakaidecagon)	19	[21]
icosagon	20	[21]
icositrigon (or icosikaitrigon)	23	The simplest polygon such that the regular form cannot be constructed with neusis.[23][22]
icositetragon (or icosikaitetragon)	24	[21]
icosipentagon (or icosikaipentagon)	25	The simplest polygon such that it is not known if the regular form can be constructed with neusis or not.[23][22]
triacontagon	30	[21]
tetracontagon (or tessaracontagon)	40	[21][24]
pentacontagon (or pentecontagon)	50	[21][24]
hexacontagon (or hexecontagon)	60	[21][24]
heptacontagon (or hebdomecontagon)	70	[21][24]
octacontagon (or ogdoëcontagon)	80	[21][24]
enneacontagon (or enenecontagon)	90	[21][24]
hectogon (or hecatontagon)[25]	100	[21]
257-gon	257	Constructible polygon[17]
chiliagon	1000	Philosophers including René Descartes,[26] Immanuel Kant,[27] David Hume,[28] have used the chiliagon as an example in discussions.
myriagon	10,000	Used as an example in some philosophical discussions, for example in Descartes's Meditations on First Philosophy
65537-gon	65,537	Constructible polygon[17]
megagon[29][30][31]	1,000,000	As with René Descartes's example of the chiliagon, the million-sided polygon has been used as an illustration of a well-defined concept that cannot be visualised.[32][33][34][35][36][37][38] The megagon is also used as an illustration of the convergence of regular polygons to a circle.[39]
apeirogon	∞	A degenerate polygon of infinitely many sides.

چندضلعی منتظم

مجموعه n-ضلعی‌های منتظم کوژ
چندضلعی‌های منتظم
ضلع و رأس	n
نماد	{n}
گروه تقارن	Dn, order 2n
چندضلعی همزاد	خود همزاد
مساحت (با a=طول ضلع)	${\displaystyle �=\frac{1}{4}�{�}^2\cot \frac{�}{�}}$
زاویه داخلی	${\displaystyle (�-2)\times \frac{{180}^{\circ }}{�}}$
مجموع زوایای داخلی	${\displaystyle \left(�-2\right){\times }^{\circ }}$
ویژگی‌ها	کوژ، سیکلیک، متساوی‌الاضلاع، Isogonal، Isotoxal

در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

ویژگی‌ها

ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ و ستاره‌ای) برقرار است.

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه‌ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.

چندضلعی‌های منتظم کوژ[ویرایش]

همهٔ چندضلعی‌های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی‌های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n-ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده می‌شود.

مثلث متساوی‌الاضلاع {۳}	مربع {۴}	پنج‌ضلعی {۵}	شش‌ضلعی {۶}	هفت‌ضلعی {۷}	هشت‌ضلعی {۸}	نه‌ضلعی {۹}	ده‌ضلعی {۱۰}
یازده‌ضلعی {۱۱}	دوازده‌ضلعی {۱۲}	سیزده‌ضلعی {۱۳}	چهارده‌ضلعی {۱۴}	پانزده‌ضلعی {۱۵}	شانزده‌ضلعی {۱۶}	هفده‌ضلعی {۱۷}	هجده‌ضلعی {۱۸}	نوزده‌ضلعی {۱۹}
بیست‌ضلعی {۲۰}	سی‌ضلعی {۳۰}	چهل‌ضلعی {۴۰}	پنجاه‌ضلعی {۵۰}	شصت‌ضلعی {۶۰}	هفتادضلعی {۷۰}	هشتادضلعی {۸۰}	نودضلعی {۹۰}	صدضلعی {۱۰۰}

زاویه‌ها

برای یک n-ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:

${\displaystyle \left(1-\frac{2}{�}\right)\times 180}$ یا ${\displaystyle (�-2)\times \frac{180}{�}}$ درجه

یا ${\displaystyle \frac{(�-2)�}{�}}$ رادیان

و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با ${\displaystyle \frac{360}{�}}$ درجه.

قطرها

برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با ${\displaystyle \frac{�(�-3)}{2}}$، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

مساحت

پنج‌ضلعی منتظم با طول ضلع s، شعاع دایره محیطی R و شعاع دایره محاطی a

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:^[۱][۲]

(زوایا برحسب رادیان است.)

${\displaystyle �=\frac{1}{2}���=\frac{1}{2}��=\frac{1}{4}�{�}^2\cot \frac{�}{�}=�{�}^2\tan \frac{�}{�}=\frac{1}{2}�{�}^2\sin \frac{2�}{�}}$

که در آن R برابر است با:

${\displaystyle �=\frac{�}{2\sin \left(\frac{�}{�}\right)}=\frac{�}{\cos \left(\frac{�}{�}\right)}}$